Question

设数列{an}的前n项和为Sn,已知a1=1,Sn=nan-(n-1)n

1、求an的表达式
2、若数列｛1/ana(n+1)}的前n项和为T，问满足Tn＞100/209的最小正整数n是多少

Answer 1

1.Sn=nan-(n-1)n
S(n-1)=(n-1)a(n-1)-(n-2)(n-1)
Sn-S(n-1)=an = nan-(n-1)n-(n-1)a(n-1)+(n-2)(n-1)
所以，nan-(n-1)n-(n-1)a(n-1)+(n-2)(n-1)-an=0
化简，(n-1)[an-a(n-1)]+(n-1)(n-2-n)=0
等式两边同时除以(n-1)，an-a(n-1)=2，所以数列{an}是等差数列，公差为2
an=a1+(n-1)d=1+2(n-1)=2n-1

Answer 2

1,an=Sn-S(n-1)=nan-(n-1)a(n-1)-2(n-1)
an-a(n-1)=2
an为等差数列 a1=1 an=2n-1
2,
由通项公式得an=3-2n
1/an*a(n+1)=1/(2n+1)(2n-1)=1/2[1/(2n+1)-1/(2n-1)]
Tn=1/2[1-1/3+1/3-1/5+...+1/(2n+1)+1/(2n-1)]=
=(n+1)/(2n+1)>100/209 n>109/9 n=12