Question

在正方形ABCD的边AB上任取一点E,作EF⊥AB交BD于点F,取FD的中点G,连接EG、CG,如图(

在正方形ABCD的边AB上任取一点E，作EF⊥AB交BD于点F，取FD的中点G，连接EG、CG，如图（1），易证　EG=CG且EG⊥CG．
（1）将△BEF绕点B逆时针旋转90°，如图（2），则线段EG和CG有怎样的数量关系和位置关系？请直接写出你的猜想．
（2）将△BEF绕点B逆时针旋转180°，如图（3），则线段EG和CG又有怎样的数量关系和位置关系？请写出你的猜想，并加以证明．
（3）将△BEF绕点B逆时针旋转任意角度，取DF的中点G，连接EG，CG。求EG与CG的数量关系和位置关系，并加以证明。
关键是告诉我第三问

Answer 1

EG=CG，EG⊥CG．（2）EG=CG，EG⊥CG．
证明：延长FE交DC延长线于M，连MG．∵∠AEM=90°，∠EBC=90°，∠BCM=90°，∴四边形BEMC是矩形．∴BE=CM，∠EMC=90°，又∵BE=EF，∴EF=CM．∵∠EMC=90°，FG=DG∴MG=FD=FG．
∵BC=EM，BC=CD，
∴EM=CD．
∵EF=CM，
∴FM=DM，
∴∠F=45°．又FG=DG，∠CMG=∠EMC=45°，∴∠F=∠GMC．∴△GFE≌△GMC∴EG=CG，∠FGE=∠MGC．∵∠FMC=90°，MF=MD，FG=DG，
∴MG⊥FD，
∴∠FGE+∠EGM=90°，
∴∠MGC+∠EGM=90°，
即∠EGC=90°，
∴EG⊥CG．

Answer 2

：（1）EG=CG，EG⊥CG．        （2分）

（2）EG=CG，EG⊥CG．             （2分）

证明：延长FE交DC延长线于M，连MG．

∵∠AEM=90°，∠EBC=90°，∠BCM=90°，

∴四边形BEMC是矩形．

∴BE=CM，∠EMC=90°，

由图（3）可知，

∵BD平分∠ABC，∠ABC=90°，

∴∠EBF=45°，

又∵EF⊥AB，

∴△BEF为等腰直角三角形

∴BE=EF，

∴EF=CM．

∵∠EMC=90°，FG=DG，

∴MG=1 2 FD=FG．

∵BC=EM，BC=CD，

∴EM=CD．

∵EF=CM，

∴FM=DM，

∴∠F=45°．

又∵FG=DG，

∠CMG=1 2 ∠EMC=45°，

∴∠F=∠GMC．

∴△GFE≌△GMC．

∴EG=CG，∠FGE=∠MGC．          （2分）

∵∠FMC=90°，MF=MD，FG=DG，

∴MG⊥FD，

∴∠FGE+∠EGM=90°，

∴∠MGC+∠EGM=90°，

即∠EGC=90°，

∴EG⊥CG．                     （2分）

Answer 3

被延G到P 连接PD PC EC 延长EB PD交与H，PH与BC交与O

易证△EFG≌PDG

易证△FEB为等直三角形 

EF=PD=EB

易证EF∥PD

则EH⊥EF⊥PD

角H=角DCO=90

易证△BHO∽OCD

∠HBO=CDO

∠EBC=CDP（外角）

∵PD=EF=EB

∠EBC=PDC

BC=CD

△EBC≌PDC

易证∠PCE=90

易证△ECP为等直三角形

G为EP中点

则EGC为等直三角形

则EG⊥CG且=CG

可能EFB在正方形内部

但是万变不离其宗，用倍长中线法和延长垂直法亦可解答

这题太复杂了，原题让是你证明了吗？

Answer 4

（3）令BA＝a﹙向量﹚。BC＝a'. BE＝b EF＝b'
则a²＝a'², b²＝b'² aa'＝bb'＝0, ab＝a'b' ab'＝-a'b ﹙*﹚
FD＝-b'-b+a'+a GF＝FD/2-a＝﹙-b'-b+a'+a﹚/2
GE＝-FD/2-b'＝﹙-b'+b-a'-a﹚/2
从﹙*﹚，立即算出
GF²＝﹙a²+b²+2ab'﹚/2＝GE² 得到GF＝GE
GF▪GE＝……＝0 得到GF⊥GE ﹙⑴⑵是特款，当然成立﹚
[ 向量方法万能，请熟练掌握。]

Answer 5

WERGW