Question

已知函数f(x)=2sinxsin(π/2+x)-2sin^2x+1(x∈R)（1）求函数f(x)的最小正周期及函数f(x)的单调递增区间

（2）若f(x0/2)=根号2/3,x0∈（-π/4,π/4），求cos2x0的值

Answer 1

已知函数f(x)=2sinxsin(π/2+x)-2sin²x+1(x∈R)（1）求函数f(x)的最小正周期及函数f(x)的单调递增区；（2）若f(xo/2)=(√2)/3，xo∈（-π/4,π/4），求cos(2xo)的值。
解：(1) f(x)=2sinxcosx-(1-2sin²x)=sin2x-cos2x=(√2)[sin2xcos(π/4)-cos2xsin(π/4)]
=(√2)sin(2x-π/4)
故最小正周期T=2π/2=π；
单调递增区间：由-π/2+2kπ≦2x-π/4≦π/2+2kπ，得-π/4+2kπ≦2x≦3π/4+2kπ；
故单增区间为：-π/8+kπ≦x≦3π/8+kπ，k∈Z.
(2).f(xo/2)=(√2)sin(xo-π/4)=(√2)/3，故sin(xo-π/4)=(√2/2)(sinxo-cosxo)=1/3，
于是得sinxo-cosxo=(√2)/3；平方之得1-sin2xo=2/9，故sin2xo=1-2/9=7/9；∵xo∈(-π/4,π/4)；
∴2xo∈(-π/2，π/2)；故cos2xo=√(1-49/81)=√(32/81)=4(√2)/9

Answer 2

（1）f(x)=2sinxsin(π/2+x)-2sin²x+1
=sin2x+cos2x
=2sin[2x+(π/4)]
函数f(x)的最小正周期为：π
函数f(x)的单调递增区间为：[kπ-(π/8)，kπ+(π/8)]

Answer 3

f(x)=cos(x)-2sin2x+1,当x=0时，最大，f(x)=1-0+1=2;第二问找出x0/2和cos2x0的关系即可。希望可以帮到你