Question

高等数学，超难高手看一下，拜托了！！！

已知f(x)是R上的奇函数，且恒有f(x+2)=-f(x) 又当x∈〔0,1〕时，f(x)=x^3。求 当x∈〔1,5〕时，求f(x)的解析式。

Answer 1

结果是分段函数;
解：因为f(x+2)=-f(x)且f(-x)=-f(x)
所以f(x+4)=-f(x+2)=-[f(-x)]=f(x)
f(x)是以4为周期的周期函数

因为f(x)为奇函数，且过原点，有周期函数关于原点对成可知
f(x)=x^3 x属于（-1，1）
又，当x属于(-3,-1)时，x+2属于（-1，1）,故f(x+2)=(x+2)^3=-f(x)
所以,x属于(-3,-1)时，f(x)=(x+2)^3.
这样，我们得到x在(-3,-1)和（-1，1）上f(x)的解析式.
又，当x属于（1，3）时，x-4属于(-3,-1)，所以
f(x-4)=（x-2）^3=f(x) %%这步看懂了吗？%%
当x属于（3，5）时，x-4属于（-1，1），所以
f(x-4)=(x-4)^3=f(x) %%这步呢？%%
综上所述：
f(x)= （x-2）^3 x属于(1,3)

f(x)=(x-4)^3 x属于(3,5)

认真看我写的每一步，这上面不好书写，最好在草稿纸上自己用数学符号抄写一遍你就懂了！

Answer 2

f(-x)=-f(x)
易知x∈(-1,0)时，f(x)=x^3
任意x∈(-1,0)，x+2∈(1,2)而f(x+2)=-f(x) =-x^3
令x+2=t,t∈(1,2),x=t-2,f(t)=-(t-2)^3.
类似的，有x∈〔0,1〕可知区间（2，3）的表达式。递推即得。

Answer 3

x∈〔-1，0〕,-x∈〔0,1〕

f(x)=-f(-x)=x^3

x∈〔-2，-1〕,x+2∈〔0,1〕

f(x)=-f(x+2)=-(x+2)^3

x∈〔-3，-2〕,x+2∈〔-1,0),-x-2∈〔0,1〕

f(x)=-f(-x)=f(-x-2)=-(x+2)^3

同理x∈〔-4，-3〕，x+4∈〔0,1〕

f(x)=-f(x+2)=f(x+4)=(x+4)^3

x∈〔-5，-4),x+4∈〔-1,0),-x-4∈〔0,1〕

f(x)=-f(-x)=f(-x-2)=-f(-x-4)=(x+4)^3=-(x+2)^3=x^3

又因为是奇函数
所以x∈〔1，5），f(x)=-(x+2)^3=x^3

Answer 4

f(x)=-f(-x) ...(1)
f(x+2)=-f(x) ...(2)
f(x+4)=-f(x+2+2)=f(x) ...(3)

(1)得f(x)=x^3 当x∈〔-1,1〕时

(2)得f(x+2)=-f(x)=-x^3
所以f(x)=-(x-2)^3 当x∈〔1,3〕时 ...(4)

(3)得f(x+4)=f(x)=x^3
所以f(x)=(x-4)^3 当x∈〔3,5〕时 ...(5)

(4) (5)合并

Answer 5

=3