Question

急急急急急急！！！！！数学高人来吧，麻烦帮忙详细解说一道选择题的答案解释，悬赏分再加加加，谢谢..

如题：设a＞b＞0，则a²+[1/（a*b)] +[1/(a*(a-b))]的最小值是？（ ）答案为：D
A.1 B.2 C.3 D.4

PS：老师今天没来上课，这题是试卷上的，我做了很久做不出来，看了答案解释也不太明白（特别是“a²+[1/（a*b)] +[1/(a*(a-b))]=a²+1/[b*(a-b)]≥a²+（4/a²）≥4”这部分，不知是怎样配凑而来的，碰到要配凑的就不会了，不懂配凑），跟同学讨论了，没多大结果(╯▽╰)希望数详细学达人能够再详细地帮忙解说一下其解题过程，根据回答的具体程度，采纳时再追加悬赏分5~50，谢谢，辛苦了！！！

该题参考答案解释：
a²+[1/（a*b)] +[1/(a*(a-b))]=a²+1/[b*(a-b)]≥a²+（4/a²）≥4，当且仅当b=a-b
且a²=4/a²，即a=√2，b=√2/2时，“=”都成立，故原式的最小值为4，选D.

Answer 1

[1/（a*b)] +[1/(a*(a-b))] = 1/[b*(a-b)] 通分，就能求得 这部分简单的
有这么一条公式(a-b)²>=0 所以 （a+b）²>=4ab 所以 ab<=[（a+b）/2]²
代入下列不等式中：
a²+1/[b*(a-b)]≥a²+（4/a²）
b(a-b)<=[(b+a-b)/2]²<=a²/4
所以原式 a²+1/[b*(a-b)]>=a²+（4/a²）
a²+b²>=2ab 所以a²+（4/a²）>=2*a*(2/a)=4

追问

O(∩_∩)O谢谢数学达人，您的数学功底真够雄厚的，顺便问一下：当看到一道关于基本不等式的题目时，怎么知道该题考的不等式是要配凑的呢，配凑的技巧，我不太懂ing...请问您能具体指点一下吗？

追答

像这种求最大值，最小值的题目 基本上都是用到
x²+y²>=2xy,(x+y)²>=4xy,x+y>=2√xy,|x+y|<=|x|+|y| 这些公式的
你可以留意下 记下这些公式，以及用法
然后找些类似的题目做做；
熟练了就会了

Answer 2

1/ab + 1/[a(a-b)]=1/[b(a-b)] 这是通分
下一步用到不等式xy<=(x+y)^2/4
即b(a-b)<=(b+a-b)^2/4=a^2/4
所以1/[b(a-b)]>=4/a^2

Answer 3

首先 1/（a*b)] +[1/(a*(a-b))=1/[b*(a-b)]
2b*(a-b)<=b^2+(a-b)^2，当且仅当b=a-b
所以：1/[b*(a-b)]≥（4/a²）当且仅当b=a-b

追问

O(∩_∩)O谢谢阁下的解答，顺便问一下：当看到一道关于基本不等式的题目时，怎么知道该题考的不等式是要配凑的呢，配凑的技巧，我不太懂ing...请问您能具体指点一下吗？

Answer 4

a²+[1/（a*b)] +[1/(a*(a-b))]=a²+(a-b)/(ab*(a-b)+b/(ab*(a-b)=a²+(a-b+b)/(ab*(a-b)=a²+a/(ab*(a-b)=a²+1/[b*(a-b)].下一步就跟楼上说的用到不等式xy<=(x+y)^2/4即b(a-b)<=(b+a-b)^2/4=a^2/4
所以1/[b(a-b)]>=4/a^2 ，a²+（4/a²）≥4这一部即用到x+y≥2√ (x*y)公式，所以a²+（4/a²）≥2√ (a²*4/a²)=4.
希望可以帮到你，有什么问题也可以问

追问

O(∩_∩)O谢谢数学达人，您的回答很详细，顺便问一下：当看到一道关于基本不等式的题目时，怎么知道该题考的不等式是要配凑的呢，配凑的技巧，我不太懂ing...请问您能具体指点一下吗？

追答

要说怎么知道，这个问题……你多做点相关的题目，然后还要记得平时比较常用的不等式公式，你们老师肯定给了你们不少的不等式公式的，所以说就是多练多记，相信你数学会提高的，比如公式
x²+y²>=2xy,(x+y)²>=4xy,ln(1+x)=2√xy,|x+y|<=|x|+|y|等等

Answer 5

第一个等号把第一个式子最后两项合并就可以了，第二个不等式由于b*(a-b)<=[(a-b+b)/2]²得到，再由倒数倒过来，等号取得的条件如答案，最后一个不等号应该简单吧