Question

2013李永乐线性代数讲义61页最后一题，没有答案，哪位大仙能告诉我，选什么？

设A，B为满足AB=0的任意两个非零矩阵，则必有：
A A的列向量组线性相关，B的行向量组线性相关
B A的列向量组线性相关，B的列向量组线性相关
C A的行向量组线性相关，B的行向量组线性相关
D A的行向量组线性相关，B的列向量组线性相关

Answer 1

应该这样考虑:
AB=0 说明 B 的列向量都是 AX=0 的解 -- 知识点.
而B非零, 故 AX=0 有非零解
所以 A 的列向量组线性相关

同理, 由 B^TA^T = 0 知 B^T的列向量组,即B的行向量组, 线性相关

故 (A) 正确.

Answer 2

判断一个向量组a1,a2,...,ar的线性相关性归结为方程组AX=0是否有非零解，A=(a1,a2,...,ar)。
由AB=0，B≠0得Ax=0有非零解，所以A的列向量组线性相关。
把AB=0转置一下B'A'=0，A≠0，所以B'x=0有非零解，B'的列向量组线性相关，即B的行向量组线性相关。

Answer 3

A。A的列向量组线性相关、B的行向量组线性相关

将A的按列分块，得A=（a1，a2，...,an）因B非零 从而至少存在一列不为0，不妨设为b=（b1,b2,...bn）的转置，按分块矩阵乘法拆开就有Ab=0=b1a1+b2a2+...+bnan 由于b1到bn中至少有一个不为零，从而对于向量组{an}来说 存在系数不全为零 但线性组合为零 这就说明A的列向量组线性相关。
另一方面 将AB=0两边取转置得B转置A转置=0，从而同样利用上面的分析方法得到B转置的列向量线性相关，从而B的行向量线性相关

追问

谢谢~~~