Question

已知x=1为函数f(x)=(x^2-ax+1)e^x的一个极值点，问题如下：

若对于任意x属于[-2,2]，t属于[1.2]f（x）大于或等于t^2-2mt+2恒成立，求m的取值范围。

Answer 1

先求f(x）的导函数，f′（x）=(2x-a)e^x+(x²-ax+1)e^x
∵x=1为函数f(x)=(x²-ax+1)e^x的一个极值点
∴f′(1)=(2-a)e+(2-a)e=2e(2-a)=0
∴a=2
f(x)=(x-1)²e^x f′(x)=(x²-1)e^x
令 f′(x)=0即(x²-1)e^x=0 解得x=±1
当x=﹣1时，f(x)=4/e
∵当x∈(-2，-1)时，f（x）＞0当x∈(-1,1)时，f（x）＜0
∴x=﹣1是f(x)的极大值
当x=1时，f(x)=0
∵当x∈(-1,1)时，f（x）＜0当x∈(1，2)时f（x）＞0
∴x=1是f(x)的极小值
当x=-2时f(x)=9/e² 当x=2时f(x)=e²
∴f(x)min=0≥t²-2mt+2
∴m大于等于3/2

Answer 2

[(x^2-ax+1)e^x]'=0,即e^x(x^2+(2-a)x+1-a)=0
由于此函数连续，可将x=1带入得e(1+(2-a)*1+1-a)=0 a=2
所以f(x)=(x-1)^2*e^x,所以其最小值为0
当m>=1.5时，t=1为t^2-2mt+2最大值,所以1-2m+2<=0
当m<1.5时，t=2为t^2-2mt+2最大值,所以4-4m+2<=0
所以m>=1.5