Question

P为三角形边上的一点，过P求作一直线，把三角形面积平分

如何作这条直线？

Answer 1

过梯形的一个顶点和梯形的中位线的中点的一条直线可以把梯形分成面积相等的两个部分. 

梯形ABCD，AD∥BC，E,F分别是AB和DC的中点，M是EF中点，连接AM并延长，交BC于N。下面证明三角形ABN的面积是梯形面积的一半。

连接AF并延长，交BC的延长线于G，容易证明三角形ADF全等于三角形GCF，所以两部分的面积也是相等的，故梯形的面积可以转换为三角形ABG的面积。可以看出EM,MF分别是三角形ABN和ANG的中位线，所以BN=2EM,NG=2MF,所以BN=NG.这样三角形ABN和ABG的高是一样的，而前者的底是后者的一半，所以可以说明ABN的面积是ABG的一半，进而ABN的面积是梯形面积的一半

此题的思路把三角形的面积转换为梯形的面积，那么把上面的方法理解了就可以如下操作了

Answer 2

假设P在AB边上,

若P为AB中点,则PC平分面积

否则,设AP:PB>1(当AP:PB<1时,将字母A与B对调后适用)

见图,取AC的中点D

连接PD

从B点作PD的平行线交AC于Q

则PQ为所求的直线

以下是证明过程:

∵PD∥BQ,且D为AC中点

所以AP:AB=AD:AQ

所以AP*AQ=AB*AD=1/2*AB*AC两边同时乘以1/2sinA

得1/2*AP*AQ*sinA=1/2*1/2*AB*AC*sinA

即:S△APQ=1/2*S△ABC

证毕

Answer 3

设P为BC上一点，则在AB上取点Q使得BQ*BP=1/2*BC*BA。根据面积公式S=1/2*absinC