Question

有两个各项都是正数的数列{an}{bn}如果a1=1,b1=2,a2=3且an,bn,an+1成等差数列

题目如图！！要详细步骤！详细过程！！清楚明白！！！！！！

Answer 1

an、bn、a(n+1)成等差数列，把a1=1,b1=2,a2=3代入其公差为d=1，可得出：b2=4，a3=5，b3=6，a4=7，b4=8，a5=9，b5=10，┄┄数列{an}为1、3、5、7┄┄数列，{bn}为2、4、6、8、10┄┄，通项分别为：an=2n-1，bn=2n；题中bn、a(n+1)、b(n+1)应为等差数列。

Answer 2

由已知得
bn=[an +a(n+1)]/2
a(n+1)²=bn×b(n+1)
=[an+a(n+1)][a(n+1)+a(n+2)]/4
[an +a(n+1)][a(n+1)+a(n+2)]=4a(n+1)²
等式两边同除以a(n+1)²
[an/a(n+1) +1][a(n+2)/a(n+1) +1]=4，为定值。
a2/a1 =3/1
a3/a2 =4/(1+1/3)) -1=2=4/2
假设a(k+1)/ak=(k+2)/k，即ak/a(k+1)=k/(k+2)，则
[k/(k+2) +1][a(k+2)/a(k+1) +1]=4
a(k+2)/a(k+1)=4/[k/(k+2) +1] -1
=4/[(2k+2)/(k+2)] -1
=4(k+2)/[2(k+1)] -1
=2(k+2)/(k+1) -1
=(k+3)/(k+1)
=[(k+1)+2]/(k+1)，同样满足表达式。
综上，得a(n+1)/an=(n+2)/n
an/a(n-1)=(n+1)/(n-1)
a(n-1)/a(n-2)=n/(n-2)
…………
a2/a1=3/1
连乘
an/a1=(3/1)(4/2)...[(n+1)/(n-1)]=[3×4×...×(n+1)]/[1×2×...×(n-1)]=n(n+1)/2
an=a1n(n+1)/2=n(n+1)/2
bn=[an+a(n+1)]/2=[n(n+1)/2 +(n+1)(n+2)/2]/2=(n+1)²/2

数列{an}的通项公式为an=n(n+1)/2；数列{bn}的通项公式为bn=(n+1)²/2