Question

如图，在平面直角坐标系xOy中.

如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC的A、B两个顶点在x轴上，顶点C在y轴的负半轴上．已知|OA|：|OB|=1：5，|OB|=|OC|，△ABC的面积S△ABC=15，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过A、B、C三点．
（1）求此抛物线的函数表达式；
（2）设E是y轴右侧抛物线上异于点B的一个动点，过点E作x轴的平行线交抛物线于另一点F，过点F作FG垂直于x轴于点G，再过点E作EH垂直于x轴于点H，得到矩形EFGH．则在点E的运动过程中，当矩形EFGH为正方形时，求出该正方形的边长；
（3）在抛物线上是否存在异于B、C的点M，使△MBC中BC边上的高为？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
急急

Answer 1

解：

（1）|OA|：|OB|=1：5，|OB|=|OC|，所以|AB|=6|OA|，|OB|=|OC|=5IOAI，S△ABC=15，

即0.5*IABI*IOCI=0.5*6IOAI*5IOAI=15，IOAI=1，所以点A、B、C的坐标分别为(0,-1)、(5,0)、(0,-3)，把它们代入y=ax^2+bx+c中，解得a=1，b=-4，c=-5，所以此抛物线的函数表达式为

y=x^2-4x-5。

（2）抛物线的对称轴为x=2，依题意，设E点的坐标为（x+2，y），则F的坐标为（x+2，y），当矩形EFGH为正方形时，EF=EH，即(x+2)-(x-2)=y，解得y=4，即该正方形的边长等于4。

（3）使△MBC中BC边上的高为7根号2，直线BC的解析式求得为y=-x-5，即x+y+5＝0，设M的坐标为（x，y），则x+y+5=14，联立y=x^2-4x-5，解得x=3-根号65，y=6+根号65或x=3+根号65，y=6-根号65（不合题意舍去），所以点M的坐标为（3-根号65，6+根号65）。

追问

能自创吗,我就是因为看不懂才重新提问的

追答

那一步不懂？

Answer 2

1)∵|OA|：|OB|=1：5，|OB|=|OC| ∴ 设|OB|=|OC|=5|OA|=5m
∵S△ABC=15
∴（m+5m）×5m=15 ∴m=1 ∴|OB|=|OC|=5 |OA|=1
∵抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过A、B、C三点 A(-1,0) B(5,0) C(0,-5)
∴a=1 b=-4 c=-5
∴y=x^2-4x-5
2）设E（x,y）因为EF关于x=对称，所以F（4-x,y）
当E在x轴下方时 令EF=FH即可
即2x-4=-(x^2-4x-5)
解得x=1+√10
边长为2x-6=2√10-4
当E在x轴上方时令EF=FH即可
即2x-4=x^2-4x-5
解得x=3+√10
边长为2x-4=2√10+2
综上所述边长为2√10+2或2√10-4
3）第三问不全啊，答不了
“BC边上的高为？”
如果高为7√2
直线BC的解析式求得为y=-x-5 即x+y+5＝0
设M的坐标为（n,n^2-4n-5)
根据点到直线距离得|n^2-3n|=14
n=(6+√65)/2或 n=(6-√65)/2
M[（6+√65)/2 ，(12-√65)/2]或M[（6-√65)/2 ，(12+√65)/2]

追问

根据点到直线距离得|n^2-3n|=14，不是应该是7√2吗?

追答

正常应该是这样的|n^2-3n|
---------- =7√2
√2
点到直线距离公式；直线（一般式）：Ax＋By＋C＝0坐标（Xo，Yo），，那么这点到这直线的距离就为：（AXo＋BYo＋C）的绝对值除以根号下（A的平方加上B的平方）

追问

鼓掌...

Answer 3

这个是标准答案

Answer 4

解：（1）∵|OA|：|OB|=1：5，|OB|=|OC|，
∴设|OB|=|OC|=5|OA|=5m，
∵S△ABC=15，
∴12（m+5m）×5m=15，
∴m=1，
∴|OB|=|OC|=5，
|OA|=1，
∵抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过A、B、C三点A（-1，0）B（5，0）C（0，-5），
设二次函数解析式为y=ax2+bx+c，
把A（-1，0）B（5，0）C（0，-5）分别代入解析式得，
a-b+c=025a+5b+c=0c=-5​，
解得a=1b=-4c=-5​，
∴a=1，b=-4，c=-5，
∴y=x2-4x-5．

（2）设直线BC的解析式为y=kx+b，把（5，0），（0，-5）分别代入解析式得：
5k+b=0b=-5​，
解得k=1b=-5​，
则一次函数解析式为y=x-5 即x-y-5=0，
设M的坐标为（n，n2-4n-5），
代入点到直线的距离公式得：\frac|n+(-1)(n2-4n-5)+(-5)|=72，
整理得：①n2-5n+14=0，
∵△=25-64=-39＜0，
∴方程无解；
②n2-5n-14=0，
解得：n=-2或n=7．
故M点坐标为（-2，7），（7，16）．

Answer 5

1)∵|OA|：|OB|=1：5，|OB|=|OC| ∴ 设|OB|=|OC|=5|OA|=5m
∵S△ABC=15
∴（m+5m）×5m=15 ∴m=1 ∴|OB|=|OC|=5 |OA|=1
∵抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过A、B、C三点 A(-1,0) B(5,0) C(0,-5)
∴a=1 b=-4 c=-5
∴y=x^2-4x-5
2）设E（x,y）因为EF关于x=对称，所以F（4-x,y）
当E在x轴下方时 令EF=FH即可
即2x-4=-(x^2-4x-5)
解得x=1+√10
边长为2x-6=2√10-4
当E在x轴上方时令EF=FH即可
即2x-4=x^2-4x-5
解得x=3+√10
边长为2x-4=2√10+2
综上所述边长为2√10+2或2√10-4
3）第三问不全啊，答不了
“BC边上的高为？”
如果高为7√2
直线BC的解析式求得为y=-x-5 即x+y+5＝0
设M的坐标为（n,n^2-4n-5)
根据点到直线距离得|n^2-3n|=14
n=(6+√65)/2或 n=(6-√65)/2
M[（6+√65)/2 ，(12-√65)/2]或M[（6-√65)/2 ，(12+√65)/2]