Question

已知数列｛an}的前n项和为Sn＝2的n次方，数列｛bn｝满足b1＝－1,b(n+1)=bn+(2n-1),若Cn＝an乘bn的积再除以n

已知数列｛an}的前n项和为Sn＝3的n次方，数列｛bn｝满足b1＝－1,b(n+1)=bn+(2n-1),若Cn＝an乘bn的积再除以n，求数列Cn的前n项和

Answer 1

∵b(n+1)=bn+(2n-1)
∴b(n+1)-bn=2n-1
∴n≥2时，
b2-b1=1
b3-b2=3
b4-b3=5
.............
bn-b(n-1)=2n-3
将上面n-1个式子两边相加
bn-b1=1+3+5+.....+(2n-3)=(n-1)²
bn=b1+(n-1)²=(n-1)²-1=n(n-2)
n=1时，上式仍然成立
｛an}的前n项和为Sn＝3的n次方
a1=S1=3
n≥2时，an=Sn-S(n-1)=3^n-3^(n-1)=2×3^(n-1)
∴c1=a1×b1=-3
n≥2时，
cn=an×bn/n=2×3^(n-1)×n(n-2)/n=2(n-2)×3^(n-1)
{cn)的前n项和为：
Tn=-3+0+2×3^2+4×3^3+6×3^4+.....+2(n-2)×3^(n-1)
2Tn=-6+2×3^3+4×3^4+..........+2(n-3)×3^(n-1)+2(n-2)×3^n
-Tn=-3+2×3+2×3^2+2×3^4+.....+2×3^(n-1)-2(n-2)×3^n
=-3+6[3^(n-1)-1]/2-2(n-2)×3^n
=-6+ 3^n-2(n-2)×3^n
=-6-(2n-5)×3^n
∴Tn=6+(2n-5)3^n

Answer 2

求an通项就不说了，只要注意分n=1和n≥2这两种情况就可以了，隆重讲求bn通项的独家解法,如下：
b(n+1)=bn+(2n-1),并注意到n^2-(n-1)^2=2n-1,
所以b(n+1)=bn+n^2-(n-1)^2
即b(n+1)-n^2=bn-(n-1)^2
由此可以看出数列{bn-(n-1)^2}是常数数列
所以bn-(n-1)^2=b1-(1-1)^2=-1
即bn=(n-1)^2-1=n(n-2)
下面就是常规的错位相减法求等比混差数列的通项了，好好发挥吧，孩纸！

Answer 3

Tn=-3+0+2×3^2+4×3^3+6×3^4+.....+2(n-2)×3^(n-1)
2Tn=-6+2×3^3+4×3^4+..........+2(n-3)×3^(n-1)+2(n-2)×3^n
-Tn=-3+2×3+2×3^2+2×3^4+.....+2×3^(n-1)-2(n-2)×3^n
=-3+6[3^(n-1)-1]/2-2(n-2)×3^n
=-6+ 3^n-2(n-2)×3^n
=-6-(2n-5)×3^n
∴Tn=6+(2n-5)3^n