Question

如图1，在等腰梯形ABCD中，AD‖BE，E是AB的中点，过点E作EF‖BC，交CD于点F，AB=4，BC=6，AD=2

（1）       求点E到BC的距离（2）       点P为线段EF上的一个动点，过点P作PM⊥EF交BC于点M，过点M作MN∥AB，交折线ADC于点M，联结PN，设EP的长为x①     当点N在线段AD上时（如图2），求△PMN的周长②     当点N在线段CD上时（如图3），是否存在点P，使△PMN为等腰三角形？若存在，求出x的值；若不存在，请说明理由 

Answer 1

设EP=x
解：（1）如图1，过点E作EG⊥BC于点G．
∵E为AB的中点，
∴BE=1 2 AB=2
在Rt△EBG中，∠B=60°，∴∠BEG=30度．
∴BG=1 2 BE=1，EG= 2²-1²= 根号3
即点E到BC的距离为 根号3

（2）①当点N在线段AD上运动时，△PMN的形状不发生改变．
∵PM⊥EF，EG⊥EF，
∴PM∥EG，又EF∥BC，
∴四边形EPMG为平行四边形，
∴EP=GM，PM=EG= 3
同理MN=AB=4．
如图2，过点P作PH⊥MN于H，
∵MN∥AB，
∴∠NMC=∠B=60°，∠PMH=30度．
∴PH=½ PM= 根号3/2∴MH=PM•cos30°=3/2
则NH=MN-MH=4-3 /2 =5 /2
在Rt△PNH中，PN= NH2+PH2 = (5 /2 )2+( 3 / 2 )2 = 7
∴△PMN的周长=PM+PN+MN= 3 + 7 +4

②当点N在线段DC上运动时，△PMN的形状发生改变，但△MNC恒为等边三角形．
当PM=PN时，如图3，作PR⊥MN于R，则MR=NR．
类似①，MR=3 /2 ，
∴MN=2MR=3．
∵△MNC是等边三角形，
∴MC=MN=3．
此时，x=EP=GM=BC-BG-MC=6-1-3=2．
当MP=MN时，
∵EG= 根号3 ，
∴MP=MN= 3 ，
∵∠B=∠C=60°，
∴△MNC是等边三角形，
∴MC=MN=MP= 根号3
此时，x=EP=GM=6-1- 根号3 =5-根号 3 ，
当NP=NM时，如图5，∠NPM=∠PMN=30度．
则∠PNM=120°，又∠MNC=60°，
∴∠PNM+∠MNC=180度．
因此点P与F重合，△PMC为直角三角形．
∴MC=PM•tan30°=1．
此时，x=EP=GM=6-1-1=4．
综上所述，当x=2或4或（5- 根号3 ）时，△PMN为等腰三角形．

Answer 2

1.因为是等腰梯形，所以AB=CD=4，又因为E是AB中点，所以AE=EB=2，又因为角B=60度，过E作EG垂直于BC交与BC于G，在三角形BEG中，可以知道EB=2则BG=1，EG=根号3。

1：三角形PMN形状不会变，因为PM的长度是固定的=EG，而NM是平行于AB的，又因为是AN平行于BM可以知道ABMN是平行四边形所以AB=MN不论P点怎么移动，PM固定值MN也是固定值那么三角形两边固定则第三边一定固定，形状不会发生改变。

2：我现在没时间暂时没法帮你了。