Question

关于一元二次方程方面的问题

已知关于x的一元二次方程（m-2）x²-（m-1）x+m=0.（其中m为实数）
1）若此方程的一个非零实数根为k，①当k=m时，求m的值；②若记m(k+1/k)-2k+5为y，求y与m的函数关系式；
2）当1/4＜m＜2时，判断此方程的实数根的个数并说明理由

（过程越详细越好 谢谢了）

Answer 1

解：（1）由题△=-3m^2+6m+1≥0∴（3-2√3）/3≤m≤（3+2√3）/3且m≠2
1）当k=m时，∴（m-2）m^2-（m-1）m+m=0
∵k=m≠0∴m^2-3m+2=0 解得m=1或2（舍去） ∴m=1
2）记y=m(k+1/k)-2k+5
由题，（m-2）k^2-（m-1）k+m=0
∵k≠0∴（m-2）k-（m-1）+m/k=0
整理得m(k+1/k)-2k+5=m+4
即y=m+4，（3-2√3）/3≤m≤（3+2√3）/3且m≠2
（2）令t=-3m^2+6m+1
当1/4＜m＜2时，1＜t≤4 即△=t＞0
∴方程有两个不等实根，得证。
（第二小题也可根据（1）中△的取值来判断）