Question

【初三考试最后一题】求解答求解析，关于函数的

如图11，已知抛物线经过点A（4,0），B（3,2）C（0,4）BD⊥Y轴，垂足为D

1. 点P从点B出发，沿折现B—D—C以每秒1个单位的速度运动，过点P作PE⊥DB，交该抛物线于E，F是X轴上一动点，且tan∠PFA=1.设点P的运动时间为t（秒），△PEF的面积为S

求：在S取得最大值时，判断以EF为对角线的平行四边形QEPF的顶点Q是否落在该二次函数的抛物线上。并说明理由

Answer 1

将点A（4,0），B（3,2），C（0,4）分别代入y=ax^2+bx+c中，得抛物线为：y=-1/3x^2+1/3x+4.
当t<3时：P(3-t，2)，E(3-t，y)，F(1-t,0)，则y=-1/3(3-t)^2+1/3(3-t)+4。
PE=y-2=-1/3(3-t)^2+1/3(3-t)+2.
延长EP交轴于G，GF=GP=2,
此时，S=1/2GF*PE=-1/3t^2+5/3t 当t=2.5时，S有最大值为25/12
当5≥t≥3时：P(0，t-1)，F(1-t,0)，E与C(0，4)重合且不变，G(0，0）GF=GP=t-1 PE=5-t
此时，S=1/2GF*PE=-1/2t^2+3t-5/2 当t=3时，S有最大值为2
所以当S最大时，t=2.5，PE=25/12=FQ，此时F（-1.5，0），所以Q（-1.5，25/12)
将x=-1.5代入y=-1/3x^2+1/3x+4.得y=11/4，故Q不在抛物线上