Question

已知不等式mx^2-2mx+m-1＜0 设不等式对于满足|m|<2的一切实数m的值都成立，求x的取值范围

Answer 1

解：
构造函数f(m)=mx²-2mx+m-1=（x²-2x+1）m-1
要使不等式mx^2-2mx+m-1＜0对于满足|m|<2即-2＜m＜2的一切实数m的值都成立
则只需f（-2）＜0 且f(2)＜0
即-2（x²-2x+1）-1＜0 且 2（x²-2x+1）-1＜0

-2（x²-2x+1）-1＜0 2（x²-2x+1）-1＜0
-2x²+4x-3＜0 2x²-4x+1＜0
2x²-4x+3＞0 解得1-√2/2＜x＜1+√2/2
△=4²-4×2×3=-8＜0
且a＞0开口向上，故x∈R

所以有1-√2/2＜x＜1+√2/2

Answer 2

mx^2-2mx+m-1＜0
m(x-1)^2<1
当0<m<2时，1/m>1/2, 则(x-1)^2<1/2
-根号1/2 +1<x<根号1/2 +1
当-2<m<=0，x可取任意值
所以 -根号1/2 +1<x<根号1/2 +1

Answer 3

采用分裂系数法提起m,
即m(x^2-2x+1）-1<0 ,
当x=1时，恒成立；
当x≠1时，(x^2-2x+1)>0
设函数f(m)=m(x^2-2x+1）-1，
所以f(2) ≤0,
即2(x^2-2x+1)-1≤0
解得： 1-√2/2≤x≤1+√2/2
综上x的取值范围为1-√2/2≤x≤1+√2/2或x=1