Question

一道立体几何题目

设O是正三棱锥P-ABC底面△ABC的中心，过O的动平面与P-ABC的三条侧棱或其延长线的交点分别为Q，R，S，则求证和式1/PQ+1/PR+1/PS是一个与平面QRS为位置无关的常量

Answer 1

1.如图,设O是正三棱锥P-ABC底面三角形ABC的中心，
过O的动平面与P-ABC的三条侧棱或其延长线的交点分别记
为Q、R、S，则 ( )
A.有最大值而无最小值
B.有最小值而无最大值
C.既有最大值又有最小值，且最大值与最小值不等
D.是一个与平面QRS位置无关的常量
1.答案：D 设正三棱锥P-ABC中，各棱之间的夹角为α,棱与底面夹角为β,h为点S到平面PQR的距离，则VS-PQR=S△PQR·h=(PQ·PR·sinα)·PS·sinβ,另一方面，记O到各平面的距离为d,则有VS-PQR=VO-PQR+VO-PRS+VO-PQS=S△PQR·d+S△PRS·d+S△PQS·d=··PQ·PR·sinα+·PS·PR·sinα+··PQ·PS·sinα.故有PQ·PR·PS·sinβ=d(PQ·PR+PR·PS+PQ·PS)，即==常量.

Answer 2

设O是正三棱锥P-ABC底面三角形ABC的中心，
过O的动平面与P-ABC的三条侧棱或其延长线的交点分别记
为Q、R、S，则 ( D )
A.有最大值而无最小值
B.有最小值而无最大值
C.既有最大值又有最小值，且最大值与最小值不等
D.是一个与平面QRS位置无关的常答案：D 设正三棱锥P-ABC中，各棱之间的夹角为α,棱与底面夹角为β,h为点S到平面PQR的距离，则VS-PQR=S△PQR·h=(PQ·PR·sinα)·PS·sinβ,另一方面，记O到各平面的距离为d,则有VS-PQR=VO-PQR+VO-PRS+VO-PQS=S△PQR·d+S△PRS·d+S△PQS·d=··PQ·PR·sinα+·PS·PR·sinα+··PQ·PS·sinα.故有PQ·PR·PS·sinβ=d(PQ·PR+PR·PS+PQ·PS)，即==常量