Question

已知等差数列An，Bn的前n项和分别为Sn，Tn，若Sn/Tn＝（7n+45）/（n+3），且An/B2n为整数，则n的值为

已知等差数列An，Bn的前n项和分别为Sn，Tn，若Sn/Tn＝（7n+45）/（n+3），且An/B2n为整数，则n的值为？
要详细解释，多谢啦！

Answer 1

因为等差数列前n项和为Sn=na1+n(n-1)d/2
=d/2*n^2+(a1-d/2)*n
所以可知等差数列前n项和是关于n的二次函数，且不含常数项。
因为Sn/Tn=(7n+45)/(n+3),
所以可设Sn=kn(7n+45)， Tn=kn(n+3),其中k为常数。

所以an =Sn-S(n-1) =kn(7n+45)-k(n-1)(7n+38)
=k(14n+38),
bn= Tn-T(n-1) = kn(n+3)- k(n-1) (n+2)
= k(2n+2),
则b2n= k(4n+2),

an/b2n=[ k(14n+38)]/[ k(4n+2)]
=(14n+38)/[(4n+2)
=(7n+19)/(2n+1)
=3+(n+16)/ (2n+1)
所以n=15时，an/b2n=4是整数。

Answer 2

：∵Sn/Tn=7n+45/n+3，
所以 S2n-1/T2n-1=7(2n-1)+45/2n-1+3=14n+38/2n+2，
又 S2n-1/T2n-1=a2n-1+a1/b2n-1+b1=an/bn
∴an/bn=14n+38/2n+2=7+12/n+1，
只有n=1，2，3，5，11时，an/bn为整数．∴使 an/bn取得整数的自然数n有5个．