Question

初三数学题！

对于二次函数y=ax²+bx+c（a≠0），如果x取任意整数时，函数值y都是整数，那么我们把该函数的图像叫做整点抛物线（例如：y=x²+2x+2）.
(1)请你写出一个二次项系数的绝对值小于1的整点抛物线所对应的函数关系式：______________________(不必证明)
(2)请探索：是否存在二次项系数的绝对值小于1/2的整点抛物线？若存在，请写出其中一条抛物线所对应的函数关系式；若不存在，请说明理由。

Answer 1

解：（1）如：y=1/2x²+1/2x，y=-1/2x²-1/2x等等
（只要写出一个符合条件的函数解析式）（4分）
（2）解：假设存在符合条件的抛物线，则对于抛物线y=ax2+bx+c
当x=0时y=c，当x=1时y=a+b+c，
由整点抛物线定义知：c为整数，a+b+c为整数，（6分）
∴a+b必为整数．（8分）
又当x=2时，y=4a+2b+c=2a+2（a+b）+c是整数，
∴2a必为整数，从而a应为1/2的整数倍，（10分）
∴|a|≥1/2；
∴不存在二次项系数的绝对值小于1/2的整点抛物线．（12分）