Question

已知，矩形OABC在平面直角坐标系中位置如图所示，A的坐标（4，0），C的坐标（0，-2），直线y=-2/3x与边BC

已知，矩形OABC在平面直角坐标系中位置如图所示，A的坐标（4，0），C的坐标（0，-2），直线y=-2/3x与边BC相交于点D。
（1）求点D的坐标；
（2）抛物线y=ax2+bx+c经过点A、D、O，求此抛物线的表达式；
（3）在这个抛物线上是否存在点M，使O、D、A、M为顶点的四边形是梯形？若存在，请求出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．

注意一下解析式是直线y=-2/3x不是其他的，谢谢。

Answer 1

解：(1).由题设知，B(4，-2).
设直线y=-2/3x与BC边相交于D(x,-2).由相似三角形的对应边成比例，得：
1：x=|-2/3|：|-2|.
x=|-2|/|-2/3|.
=2/(2/3).
=3.
∴D点的坐标为：D(3,-2).

(2)∵抛物线y=ax^2+bx+c过A(4,0),D(3,-2),,O(0,0)三点，只要将三点的坐标代入其中，求出a,b,c即可。
代入O(0,0),得：c=0,
代入A(4,0),得：16a+4b=0, b=-4a (1)
代入D(3.-2),得：9a+3b=-2 (2),
解(1),(2)式，得：a=2/3.
b=-8/3
∴y=(2/3)x^2-(8/3)x. ----即为所求抛物线的表达式。

(3) 先求直线y=(-2/3)x 与抛物线y=(2/3)(x^2-4x)的,交点：
-x=x^2-4x
x^2-3x=0,
x(x-3)=0,
x1=0,
x-3=0,
x2=3.
求得直线与抛物线的两个交点为M1(0,0), M2(3.-2).
显然，M1(0,0)与原点重合，M2(3,-2)与D(3,-2)与D点重合。故不存在M点，使O,D,A,M为顶点的四边形为梯形。

Answer 2

（3）假设存在点M，使O、D、A、M为顶点的四边形是梯形；
①若以OA为底，BC∥x轴，抛物线是轴对称图形，
∴点M的坐标为（1，-2）；（9分）
②若以OD为底，过点A作OD的平行线交抛物线为点M，
∵直线OD为y=-23x，
∴直线AM为y=-23x+83；
∴-23x+83=23x2-83x
解得：x1=-1，x2=4，（舍去）
∴点M的坐标为（-1，103）；（11分）
③若以AD为底，过点O作AD的平行线交抛物线为点M，
∵直线AD为y=2x-8，
∴直线OM为y=2x，
∴2x=23x2-83x，
解得：x1=7，x2=0（舍去）；
∴点M的坐标为（7，14）．（12分）
∴综上所述，当点M的坐标为（1，-2）、（-1，103）、（7，14）时，以O、D、A、M为顶点的四边形是梯形．

Answer 3

由题意得，D点纵坐标为-2，所以把y=-2代入直接方程式，得D（3，-2）
2）把A（4，0），D（3，-2），O（0，0）代入抛物线，解三元一次方程，解得a= ,b= ,c=
3)美图啊，不过可以假设存在，梯形的上下两边平行，可以算这两条直线的K值，如果一样，那就存在

Answer 4

（1）D（3，-2） （2）根据题意得，c=0，所以y=2/3x2-3/2x
(3)存在。就是D点关于x=2的对称点，即M(1,-2)
我的个人观点。错了的话请包涵。