Question

如图，点P是△ABC内一点，试说明1/2（AB+AC+BC)＜PA+PB+PC＜AB+AC+BC!!!!!!!!!急

Answer 1

证明
∵PA+PB>AB
PA+PC>AC
PB+PC>BC
∴PA+PB+PA+PC+PB+PC>AB+AC+BC
2(PA+PB+PC)>AB+AC+BC
PA+PB+PC >1/2(AB+AC+BC )

延长BP与AC边相交于点D,由三角形两边之和大于第三边得
AB+AD>BD,PD+DC>PC,故
AB+AD+PD+DC>BD+PC=PB+PD+PC,AB+AD+DC>PB+PC,
即AB+AC>PB+PC,
同理可证,AB+BC>PA+PC,BC+CA>PB+PA
将上面3式相加得2AB+2AC+2AC>2PA+2PB+2PC,AB+AC+AC>PA+PB+PC.

∴1/2（AB+AC+BC)＜PA+PB+PC＜AB+AC+BC

追问

你来晚了一步

追答

是晚的原因吗？呵呵
你问的是两个，不需要完整的答案？

追问

完整的答案?呸呸呸呸呸呸呸呸呸呸呸呸呸呸呸呸呸呸呸呸呸呸

追答

？？？
什么意思？

Answer 2

根据三角形两边之和大于第三边：
PA+PB>AB, PB+PC>BC, PA+PC>AC
三式相加得：2(PA+PB+PC)>AB+BC+AC, PA+PB+PC>1/2(AB+BC+AC)
根据三角形两边之差小于第三边：
PA-PB<AB, PB-PC<BC, PC-PA<AC
三式相加得：PA+PB+PC<AB+BC+AC
于是，1/2（AB+AC+BC)＜PA+PB+PC＜AB+AC+BC

Answer 3

由两边之和大于第三边，所以AP+BP>AB,BP+PC>BC,AP+PC>AC
所以以上三式相加2（AP+BP+PC)>AB+BC+AC
即：AP+BP+PC>1/2（AB+BC+AC）
又由于P在三角形内部，所以角APB,BPC,APC均为钝角，
由大角对大边知道AB>AP,BC>BP,AC>PC
相加的AP+BP+PC<AB+BC+AC
故本题得证。

Answer 4

因为在△ABP中AP+BP＞AB①
在△ACP中PC+PA＞AC②
在△BCP中，PB+PC＞BC③
三式相加得2AP+2BP+2PC＞AB+BC+AC
所以PA+PB+PC>1/2(AB+BC+AC)

祝学业进步！

追问

怎么又是你？

Answer 5

解题思路： 两边之和大于第三边！

追问

过程