求e^(x+y)的二重积分，其中D是闭区域|x|+|y|<=1
设
u=x+y
v=x-y
则
ə(u,v)/ə(x,y)= 1 1
1 -1
|ə(u,v)/ə(x,y)| = 2
则
积分=∫(-1→1)∫(-1→1)e^u * 2 dudv
=2∫(-1→1)e^udu∫(-1→1)dv
=2 e^u(-1→1) *2
=4(e-1/e)
扩展资料：
几何意义
在空间直角坐标系中，二重积分是各部分区域上柱体体积的代数和，在xoy平面上方的取正，在xoy平面下方的取负。某些特殊的被积函数f（x，y）的所表示的曲面和D底面所为围的曲顶柱体的体积公式已知，可以用二重积分的几何意义的来计算。
例如二重积分
,其中
，表示的是以上半球面为顶，半径为a的圆为底面的一个曲顶柱体，这个二重积分即为半球体的体积
。
解题过程如下：
扩展资料
求二重积分方法：
二重积分是二元函数在空间上的积分，同定积分类似，是某种特定形式的和的极限。本质是求曲顶柱体体积。重积分有着广泛的应用，可以用来计算曲面的面积，平面薄片重心等。平面区域的二重积分可以推广为在高维空间中的（有向）曲面上进行积分，称为曲面积分。
在空间直角坐标系中，二重积分是各部分区域上柱体体积的代数和，在xoy平面上方的取正，在xoy平面下方的取负。某些特殊的被积函数f（x，y）的所表示的曲面和D底面所为围的曲顶柱体的体积公式已知。
二重积分和定积分一样不是函数，而是一个数值。因此若一个连续函数f（x，y）内含有二重积分，对它进行二次积分，这个二重积分的具体数值便可以求解出来。
当f(x,y)在区域D上可积时，其积分值与分割方法无关，可选用平行于坐标轴的两组直线来分割D，这时每个小区域的面积Δσ=Δx·Δy，因此在直角坐标系下，面积元素dσ=dxdy。
在极坐标系下计算二重积分，需将被积函数f（x，y），积分区域D以及面积元素dσ都用极坐标表示。函数f（x，y）的极坐标形式为f（rcosθ，rsinθ）。
为得到极坐标下的面积元素dσ的转换，用坐标曲线网去分割D，即用以r=a，即O为圆心r为半径的圆和以θ=b，O为起点的射线去无穷分割D，设Δσ就是r到r+dr和从θ到θ+dθ的小区域。
u=x+y
v=x-y
则
ə(u,v)/ə(x,y)= 1 1
1 -1
|ə(u,v)/ə(x,y)| = 2
则
积分=∫(-1→1)∫(-1→1)e^u * 2 dudv
=2∫(-1→1)e^udu∫(-1→1)dv
=2 e^u(-1→1) *2
=4(e-1/e)
可书上答案是e-1/e啊
嗯
这里是1/2
↓
积分=∫(-1→1)∫(-1→1)e^u * (1/2) dudv
=(1/2)∫(-1→1)e^udu∫(-1→1)dv
=(1/2) e^u(-1→1) *2
=e-1/e
这道题的关键是 积分变换
=4∫[0,1]∫[0,1-x]e^(x+y)dydx
=4∫[0,1]e^(x+y)[0,1-x]dx
=4∫[0,1][e-e^x]dx
=4(ex-e^x)[0,1]
=4(e-e+1)
=4
我也是这样做的，但书上答案是e-1/e
我又计算了一遍，确实无错误啊，不知道哪的问题
