Question

lim [1/(n+1)+1/(n+2)+..+1/(n+n)]=____n->无穷

Answer 1

lim(n→∞) 1/(n + 1) + 1/(n + 2) + ... + 1/(n + n)
= lim(n→∞) Σ_(k=1→n) 1/(n + k)
= lim(n→∞) Σ_(k=1→n) 1/(1 + k/n) · 1/n
= ∫(0→1) dx/(1 + x)
= ln(1 + x) |(0→1)
= ln(2) - ln(1)
= ln(2)

追问

上下同除以n然后把1／n提出来，里面不是剩n个1了吗？

追答

1/(n + 1) + 1/(n + 2) + ... + 1/(n + n)
= 1/n · [1/(1 + 1/n) + 1/(1 + 2/n) + ... + 1/(1 + n/n)]

≠ 0 · [1/(1 + 0) + 1/(1 + 0) + ... + 1/(1 + 0)] = 0 · [1 + ... + 1] = 0
注意这极限不只是一项，而是许多项，加起来就不是n个1了，更加不会是0.

追问

我以为的是 [1/(1 + 0) + 1/(1 + 0) + ... + 1/(1 + 0)] = 0 · [1 + ... + 1] 这部不对吗？ 里面不是N个1？

追答

不对，许多个无穷小加起来不一定是无穷小了
看这例子：
ak = k/n²，对每个k来说，ak是无穷小
但a1 + a2 + .... an + ....
= lim(n→∞) (a1 + ... + an)
= lim(n→∞) (1 + 2 + ... n)/n²
= lim(n→∞) [n(n + 1)/2]/n²
= lim(n→∞) (n + 1)/(2n)
= lim(n→∞) (1 + 1/n)/2
= 1/2