Question

设函数f(x)=（-1/3）x^3+ax^2+bx,其图象在点A(1,f(1)),B(m,f(m))处的切线的斜率分别为0和1

（1）若m=2，求函数f（x）的极大值 （2）若-1＜a＜b，函数f（x）的单调递增区间为【s，t】，求|s-t|的取值范围

Answer 1

(1)因为f(x)的导数为-x^2+2ax+b;m=2;

所以：-1+2a+b=0;-4+4a+b=1

所以：a=2,b=-3;

所以：f(x)的导数为：-x^2+4x-3;

令-x^2+4x-3>=0 =>>1=<x<=3;所以f(x)的极大值为：f(3)=0.

(2)因为f(x)的导数为-x^2+2ax+b;

所以：-1+2a+b=0;-m^2+2am+b=1

所以：当m=1时,方程无解

当m不等于1时：a=m^2/[2(m-1)];b=1-m^2/(m-1)  =》m^2/[2(m-1)>-1,1-m^2/(m-1)>m^2/[2(m-1)]

所以：-1-根号（3）<m<-1+根号（3）

令-x^2+m^2/(m-1)x+1-m^2/(m-1)>=0     =>>x^2-m^2/(m-1)x-1+m^2/(m-1)<=0 

则：|s-t|=根号下[(m^2/(m-1))^2-4(m^2/(m-1)-1)]

|s-t|=根号下[(m^4-4m^3+8m^2-8m+4)/(m-1)^2]

设h(m)=m^4-4m^3+8m^2-8m+4)/(m-1)^2

所以：4<h(m)<16

所以：2<|s-t|<4 

h(m)函数图象：

追问

已知动点P（x，y）到定点F（0,p/2）（p＞0）的距离比它到x轴的距离大p/2 。 （1）求点P的轨迹C的方程 （2）若点P在x轴上方，过点A（0,4p）的直线与曲线C相交于M，N两点，自M，N向直线l：y=-4p作垂线，垂足分别为M1，N1,.记△AMM1、△AM1N1、△ANN1的面积分别为S1、S2、S3，是否存在直线MN，使S1，S2，S3成等差数列。若存在，求出直线MN的方程；若不存在，请说明理由.