Question

已知数列{an}{bn}中对于任何正整数n都有a1b1+a2b2+anbn=(3n-1)/9+4^n+1+4/9

若数列{bn}是等比数列数列{an}是否为等差数列

Answer 1

a1b1+a2b2+……+a(n-1)b(n-1)+anbn=(3n-1)/9+4^(n+1)+4/9
a1b1+a2b2+……+a(n-1)b(n-1)=(3n-4)/9+4^n+4/9
相减：
anbn=(3n-1)/9+4^(n+1)+4/9-(3n-4)/9-4^n-4/9
=1/3+3*4^n
anbn=1/3+3*4^n

设bn=b1*q^(n-1)
anb1*q^(n-1)=1/3+3*4^n
an=(1/3+3*4^n)/[b1*q^(n-1)]=(1/b1)(1/3+3*4^n)/q^(n-1)
a(n-1)=(1/b1)[1/3+3*4^(n-1)]/q^(n-2)
an-a(n-1)=(1/b1)(1/3+3*4^n)/q^(n-1)-(1/b1)[1/3+3*4^(n-1)]/q^(n-2)
=(1/b1)(1/3+3*4^n)/q^(n-1)-(1/b1)q[1/3+3*4^(n-1)]/q^(n-1)
=(1/b1)[1/3+3*4^n-q/3-3q*4^(n-1)]/q^(n-1)
=(1/b1)[(1-q)/3+(12-3q)4^(n-1)]/q^(n-1)
若为等差则上式为常数
只要[(1-q)/3+(12-3q)4^(n-1)]/q^(n-1)为常数
不妨设[(1-q)/3+(12-3q)4^(n-1)]/q^(n-1)=k
(1-q)/3=-(12-3q)4^(n-1)+kq^(n-1)
左边为常数，只要-(12-3q)4^(n-1)+kq^(n-1)为常数,
当q=4时，
-1=k4^(n-1)
显然不成立
所以
不可为等差数列。