Question

如图,直线y=-3/4x+6分别与x轴、y轴交于A、B两点；直线y=5／4x与AB交于点C，过点A且平行于y轴的直线交于点D

如图,直线y=-3/4x+6分别与x轴、y轴交于A、B两点；直线y=5／4x与AB交于点C，过点A且平行于y轴的直线交于点D。点E从点A出发，以每秒1个单位的速度沿x轴向左运动。过点E作x轴的垂线，分别交直线AB、OD于P、Q两点，以PQ为边向右作正方形PQMN。设正方形PQMN与△ACD重叠部分（阴影部分）的面积为S（平方单位），点E的运动时间为t（秒）。
⑴求点C的坐标
⑵当0＜x＜5时，求S于t之间的函数关系式。
⑶求⑵中S的最大值
⑷当t＞0时，直接写出点（4，9／2）在正方形PQMN的内部时t的取值范围

Answer 1

解：

（1）

将两直线的方程联立：

y=-(3/4)x+6，
y=(5/4)x，

解得： x=3， y=15/4，

即C点坐标为： C(3,15/4)。

（2）

由题意易知以下四点坐标：

A(8,0)， E(8-t,0)， P(8-t,3t/4)， Q(8-t,10-5t/4)。

当0<t<5时， 3<8-t<8， 所以直线PQ位于点C右边， 所以，|PQ|=10-2t。

正方形PQMN或者有一部分在三角形ACD外，或者完全在三角形ACD内。

①正方形PQMN有一部分在三角形ACD外。

此时应有|PQ|>|AE|，即 10-2t>t，亦即 t<10/3。

此时，阴影部分面积

S=|PQ||AE|
=(10-2t)t
=-2t^2+10t
=-2(t-5/2)^2+25/2。

②正方形PQMN完全在三角形ACD内。

此时应有|PQ|≤|AE|，即 10-2t≤t，亦即 t≥10/3。

此时，阴影部分面积

S=|PQ|^2
=(10-2t)^2
=4(t-5)^2。

所以，0<t<5 时，

-2(t-5/2)^2+25/2， 0<t<10/3，
S =
4(t-5)^2, 10/3≤t<5。

（3）

①0<t<10/3：

此时，S=-2(t-5/2)^2+25/2，抛物线开口向下，对称轴 t=5/2∈(0,10/3)，

t=5/2时，S取最大值25/2。

②10/3≤t<5：

此时，S=4(t-5)^2，抛物线开口向上，对称轴 t=5，

t=10/3 时，S取最大值100/9。

由①②知，当t=5/2时，S取得最大值25/2。

（4）

点F(4,9/2)的位置如图所示：

要使F在正方形内，有两种情况：

①
直线PQ在点C和点F之间，并且F到直线PQ距离小于正方形边长|PQ|。

即
3<8-t<4,
4-(8-t)<10-2t。

解得：

4<t<14/3。

②
直线PQ位于点C或点C左侧，并且F到直线PQ距离小于正方形边长|PQ|=2t-10。

即
8-t≤3,
4-(8-t)<2t-10。

解得：

t>6。

综上述，4<t<14/3 或 t>6。