Question

已知椭圆X²+2Y²=4,则以(1,1)为中点的弦的长度为

Answer 1

交点（x1，y1）（x2，y2）
x1+x2=2 y1+y2=2
弦长为√(x1-x2)^2+(y1-y2)^2=√(1+k^2)|x1-x2| k为直线斜率
X1²+2Y1²=4 X2²+2Y2²=4
相减得到：(y1-y2)/(x1-x2)=-1/2(x1+x2)/(y1+y2)=-1/2 直线斜率为-1/2
直线为x+2y-3=0
联立得：3x^2-6x+1=0
x1x2=1/3
弦长=√（1+（-1/2)^2)|x1-x2|=√5/2√(x1+x2)^2-4x1x2=√30/3

追问

3x^2-6x+1=0是什么

追答

是直线方程和椭圆方程联立得到的方程

Answer 2

设以（1,1）为中点的弦所在直线与该椭圆相交于直线y=kx+b.交点是A（x1,y1）,B(x2,y2)则由k+b=1. 连立方程组x^2+2y^2=4,y=kx+b.得到（1+k^2）x^2+4kbx+2b^2-4=0. 由弦的中点是（1,1），则x1+x2=2,x1+x2=-4kb/(1+2k^2),b=1-k.因此，得到k=-1/2,b=3/2. x1*x2=1/3.
弦长=√（1+k^2）[(x1+x2)^2-4x1*x2]=√30/3

Answer 3

设AX1,Y1 BX2,Y2 代入点差法 X1+X2=2 Y1+Y2=2 直线y=kx+b k=-1\2 又因为（1，1）在直线上 求出b=3\2 直线与椭圆联立，伟达定理，再弦长公式 可求出弦长为(根号30)\3
应该对吧，不管怎样思路最重要，理解过程，自己多做题，才是硬道理

追问

怎么代弦长公式 ，我觉得少数据，我算出K=-0.5了

追答

弦长=│x1-x2│√(k^2+1)=│y1-y2│√[(1/k^2)+1] 　　其中k为直线斜率,(x1,y1),(x2,y2)为直线与曲线的两交点,"││"为绝对值符号,"√"为根号 　　证明方法如下： 　　假设直线为:Y=kx+b 　　圆的方程为：(x-a)^2+(y-u)^2=r^2 　　假设相交弦为AB，点A为（x1.y1)点B为(X2.Y2) 　　则有AB=√(x1-x2)^2+(y1-y2)^ 　　把y1=kx1+b. 　　y2=kx2+b分别带入, 　　则有： 　　AB=√（x1-x2)^2+(kx1-kx2)^2 　　=√(x1-x2)^2+k^2(x1-x2)^2 　　=√1+k^2*│x1-x2│ 　　证明ABy1-y2│√[(1/k^2)+1] 　　的方法也是一样的