Question

判断级数n从1到无穷,(-1)^n*sin(x/n) (x!=0)的敛散性，是条件收敛还是绝对收敛？

Answer 1

这是个交错级数，相邻两项的差与 1/n^2 同阶，故收敛。
但 |(-1)^n*sin(x/n)|=|sin(x/n)| 与 1/n 同阶 ，所以不是绝对收敛。

追问

为什么相邻两项的差与1/n^2同阶？同阶为什么就收敛了？什么定理？能说的详细点吗？谢了

追答

由和差化积公式，
sin(x/n)-sin[x/(n+1)]
=2cos{[x/n+x/(n+1)]/2}*sin{[x/n-x/(n+1)]/2}
=2cos[x(2n+1)/(2n^2+2n)]*sin[x/(2n^2+2n)]
当 n 趋于无穷时，cos[x(2n+1)/(2n^2+2n)] 趋于 cos0=1 ，
而 sin[x/(2n^2+2n)]=O(x/(2n^2+2n))=O(1/n^2) 。
由于 ∑ 1/n^2 收敛 ，故原级数收敛。