高考数学题 关于导数的 请写出思路 20

不要单单是过程,要思路前2问我做出来了,不用做了前两问好像是北京高考的(2011理科18题),大家自己查查答案看下把题目在图片里... 不要单单是过程,要思路
前2问
我做出来了,不用做了
前两问好像是北京高考的(2011理科18题),大家自己查查答案看下把
题目在图片里
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 我来答
lucyjxm
推荐于2018-05-03 · TA获得超过728个赞
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思考第三问我们要看图像,由(1),(2)问易得:f(x)的极大值点和极小值点分别为:A(-k,4k^2/e), B(k,0),且在<-k 和>k上单调递增,在-k到k上单调递减。于是很自然的(你要自己画一个图,问交点的问题通常要通过图形来辅助思考)一定有一个区间L(比如(-k/2,k/2)或者[a,b]之类的开集、闭集、左开右闭或左闭右开的集合)使得当m∊L时,f(x)与y=m有三个不同的交点。
这时我们知道在[-k,k]上,f(x)与y=m一定有一个交点,这样我们只需考虑在x>k和x< -k上f(x)与y=m何时有交点。
x>k时。由于f(x)连续且f(x)在k>=0上的极小值就等于0,因此只需考虑f(x)在k>0上的最大值。f(x)在k>0上单调递增,若对于t是一个实数,若存在x>k使得f(x)=t,则对于任意的0<y0<t, 都存在x0使得:f(x0)=y0。(这件事你看图就能明白,要证明需要大学知识,你能理解就好)。于是我们如果找到一个很大的x, 使得f(x)>4k^2/e, 则说明当m<=4k^2/e时,f(x)与y=m在x>k上必有交点。
于是,我们总能取到一个正整数N,使得:N>2k(只要在数轴上一个一个的数下去,这件事是办得到的,因为2k与2k+1是一个有限的数),令x=N, 于是:
f(x)=(N-k)^2 e^(N/k)
>k^2 e^2
>4k^2
>4k^2/e.
这样我们知道,只要0<m<=4k^2/e, 则f(x)与y=m在x>k上就有交点。
x<-k。易知0<f(x)<4k^2/e。现在只需考虑是否存在t>0使得在x< -k上,f(x)>=t总成立。同样的我们知道:在x< -k上,对于0<a<b, 若存在x1,x2< -k, f(x1)=a, f(x2)=b, 则对于任意的y0:a<y0<b, 必存在x0使得:f(x)=y0。于是对于任意的正数t,一定存在正整数N使得:1/N<t(实际上就是:N>1/t, 这也是可以做到的).
此时遇到问题:当x趋近于负无穷时,(x-k)^2趋近于正无穷,e^(x/k)趋近于0, 则它们相乘要趋近于什么呢?由于f(x)=(x-k)^2 e^(x/k)=(x-k)^2/(e(-x/k)), 那我们就考虑g=|(x-k)^2|=(x-k)^2与h=|e(-x/k)|的大小就好了。
针对于这道题的情况我们可以考察这样一件事:对于任意的正整数n, 存在一个正数x0,对于任意的x>n, e^x>x^n。(可以对n用数学归纳法)。
于是我们得到:存在x0>k>0, 当x<-x0<-k时:
|f(x)|=|(x-k)^2 e^(x/k)|
=|(x-k)^2/x^3|*|x^3/e(-x/k)|
<|(x-k)^2/x^3| -->0, x趋近于负无穷时。
从而我们知道:当0<m<4k^2/e时,在x<-k上,f(x)与y=m必有交点。
综上:若要f(x)与y=m必有3个交点则:0<m<4k^2/e

思路:找到极大值点、极小值点、升降区间,画图,比较,再分析得到结论。
追问
是用洛必达法则吗?
本人高二,没学过大学数学,自己看麻省理工学院的公开课自学了一点
追答
实际运用时我们是习惯运用洛必达法则,但考虑到你可能没有学习过这种方法,所以我用了一个多项式比较的方法,再使用了归纳法,我觉得可能有些麻烦,但你能够理解,当然,如果你能理解洛必达法则并能运用,那么就省去了很多过程,对于趋近负无穷时的讨论,相信你也能得到正确并且容易理解的结果。
唐卫公
2012-04-30 · TA获得超过3.7万个赞
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既然前两问以做,这里不再重复。
x < -k 或 x > k时, f(x)为增函数; -k < x < k时, f(x)为减函数.
x = -k时: f(x)取极大值
x = k时: f(x)取极小值
自己画个草图可知,要使y = m与其有三个不同交点,只需在x < -k, -k < x < k和x > k三个区间内各有一个交点即可.
m介于f(x)的极大值和极小值之间时, y = m在 -k < x < k内与f(x)有一个交点.
另两个交点要使在m大于f(x)在x趋近于负无穷时的极限, 并小于f(x)在x趋近于正无穷时的极限即可.
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匿名用户
2012-05-11
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令G(x)=F(X)-M,先讨论k>0的,即先求出极值点,有单调性可知两个极值点一个是极小值一个极大值。然后用根的存在性就应该可以求出了。对k<0同样讨论
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花八电U
2012-05-01 · TA获得超过1.8万个赞
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请楼主参考下,可指正.

参考资料: http://photo.163.com/shichao66@126/big/#aid=237460444&id=7613128690

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