Question

已知函数f(x)=x^2-2ax-2aInx(x>0,a∈R)。（1）当a=1时，求曲线y=f（x）在点（1,f（1））出的切线方程

（2）求证：当a＜0时，函数y=f（x）存在唯一零点
（3）当a＞0时，若函数y=f（x）存在唯一零点，求a的值

Answer 1

1)a=1, f(x)=x^2-2x-2lnx
f'(x)=2x-2-2/x
f(1)=1-2-0=-1
f'(1)=2-2-2/1=-2
切线方程：y=-2(x-1)-1=-2x+1
2)a<0, f'(x)=2x-2a-2a/x=2/x *(x^2-ax-a)
因为定义域为x>0, 所以有：f'(x)>0, 即函数单调增，最多只有一个零点
又f(1)=1-4a>0
f(0+)-->-2alnx-->-∞, 因此f(x)有唯一零点。
3）a>0时，f'(x)=0有两个根，x1=[a+√(a^2+4a)]/2>0, x2=[a-√(a^2-4a)]/2<0
因此在定义域x>0内只有一个极值点x1,其为极小值点
有唯一零点则表明此极小值为0.
故有：f(x1)=0
由x1^2=ax1+a代入，化为：lnx1=(1-x1)/2， 解得：x1=1
故有：a+√(a^2+4a)=2
解得：a=1/2