Question

已知关于x的方程2x²-（√3+1)x+m=0的两根为 sin θ,cos θ,θ∈(0,2π)

sinθ/1-cotθ+cosθ/1-tanθ的值？（cotθ=cosθ/sinθ)

Answer 1

2x²-（√3+1)x+m=0的两根为 sin θ,cos θ
由韦达定理得：
sinθ+cosθ=(√3+1)/2
sinθcosθ=m/2

sinθ/1-cotθ+cosθ/1-tanθ
=sin²θ/(sinθ-cosθ)+cos²θ/(cosθ-sinθ)
=(sin²θ-cos²θ)/(sinθ-cosθ)
=(sinθ+cosθ)
=(√3+1)/2

追问

sinθ/1-cotθ+cosθ/1-tanθ =sin²θ/(sinθ-cosθ)+cos²θ/(cosθ-sinθ)这个怎么变的？

追答

cotθ=cosθ/sinθ；tanθ=sinθ/cosθ

sinθ/(1-cotθ)+cosθ/(1-tanθ)
=sinθ/(1-cosθ/sinθ)+cosθ/(1-sinθ/cosθ)
=sinθ/[(sinθ-cosθ)/sinθ]+cosθ/[(cosθ-sinθ)/cosθ]
= sin²θ/(sinθ-cosθ)+cos²θ/(cosθ-sinθ)

Answer 2

sin+cos=(√3+1)/2
sin*cos=m/2
θ∈(0,2π),-√2<sin+cos<√2
原式=sin/(1-cos/sin)+cos/(1-sin/cos)=(sin*sin)/(sin-cos)+(cos*cos)/(cos-sin)
=(sin*sin-cos*cos)/(sin-cos)=(sin+cos)*(sin-cos)/(sin-cos)=sin+cos=(√3+1)/2

追问

sin/(1-cos/sin)+cos/(1-sin/cos)=(sin*sin)/(sin-cos)+(cos*cos)/(cos-sin)这个怎么变的？