二重积分题 ，设f(x,y)在区域D:0<=x<=1,0<=y<=1上有定义,且可微,f(0,0)=0，求
设f(x,y)在区域D:0<=x<=1,0<=y<=1上有定义,且可微,f(0,0)=0，求lim(x→0+)[∫（0→x^2）dt∫（√t→x）f(t,u)du]/[1...
设f(x,y)在区域D:0<=x<=1,0<=y<=1上有定义,且可微,f(0,0)=0，求
lim(x→0+) [∫（0→x^2）dt ∫（√t →x）f(t,u)du]/[1- e^(-x^3 /3)] 展开
lim(x→0+) [∫（0→x^2）dt ∫（√t →x）f(t,u)du]/[1- e^(-x^3 /3)] 展开
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当x→0+时 x^2-->0 t-->0----------------------------(★)
因为x^2-->0
所以 ∫（0→x^2）dt ∫（√t →x）f(t,u)du→0
显然1- e^(-x^3 /3)→0
因此[∫（0→x^2）dt ∫（√t →x）f(t,u)du]/[1- e^(-x^3 /3)]是未定式，可应用罗比达法则
lim(x→0+) [∫（0→x^2）dt ∫（√t →x）f(t,u)du]/[1- e^(-x^3 /3)]
=lim(x→0+)[2x ∫（√t →x）f(t,u)du]/[x²e^(-x³/3)
=2lim(x→0+)[ ∫（√t →x）f(t,u)du]/[xe^(-x³/3)]
又因为(★)
当x-->0+时 t-->0 √t→0
∫（√t →x）f(t,u)du→0
xe^(-x³/3)→0
∴2lim(x→0+)[ ∫（√t →x）f(t,u)du]/[xe^(-x³/3)]
=2lim(x→0+)[f(t,u)]/[e^(-x³/3)+x²e^(-x³/3)]
这里x→0+
t,u→0
f(t,u)→0
e^(-x³/3)+x²e^(-x³/3)→1
因此原极限
lim(x→0+) [∫（0→x^2）dt ∫（√t →x）f(t,u)du]/[1- e^(-x^3 /3)]=0
希望对你有帮助！
因为x^2-->0
所以 ∫（0→x^2）dt ∫（√t →x）f(t,u)du→0
显然1- e^(-x^3 /3)→0
因此[∫（0→x^2）dt ∫（√t →x）f(t,u)du]/[1- e^(-x^3 /3)]是未定式，可应用罗比达法则
lim(x→0+) [∫（0→x^2）dt ∫（√t →x）f(t,u)du]/[1- e^(-x^3 /3)]
=lim(x→0+)[2x ∫（√t →x）f(t,u)du]/[x²e^(-x³/3)
=2lim(x→0+)[ ∫（√t →x）f(t,u)du]/[xe^(-x³/3)]
又因为(★)
当x-->0+时 t-->0 √t→0
∫（√t →x）f(t,u)du→0
xe^(-x³/3)→0
∴2lim(x→0+)[ ∫（√t →x）f(t,u)du]/[xe^(-x³/3)]
=2lim(x→0+)[f(t,u)]/[e^(-x³/3)+x²e^(-x³/3)]
这里x→0+
t,u→0
f(t,u)→0
e^(-x³/3)+x²e^(-x³/3)→1
因此原极限
lim(x→0+) [∫（0→x^2）dt ∫（√t →x）f(t,u)du]/[1- e^(-x^3 /3)]=0
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更多追问追答
追问
二重积分貌似不能直接用洛必达把，何况两个积分上下限都有x...
我同学说用改变积分变量顺序做，但我总想不通上下限的x到底什么意思，和t有关？所以图也画不出，没法交换...
不过答案确实是0，我只学到二重积分计算，不知道是否确实可用洛必达，所以还是想问下x和t到底指什么。。。
追答
二重积分也是定积分，这个并非要画图求解的，
你没有明白∫（0→x^2）dt ∫（√t →x）f(t,u)du]/[1- e^(-x^3 /3)
的意思
它是可以写成∫（0→x^2）{ ∫（√t →x）f(t,u)du]/[1- e^(-x^3 /3)} dt
∫（√t →x）f(t,u)du]/[1- e^(-x^3 /3)
实际上就是一个关于t的函数
∫（0→x^2）中0→x^2是指t由0到x^2
所以t<x^2
只要你明白(∫f(x)dx)′=f(x)
这个道理就是一样的，是可以用罗比达的
因为都是函数为什么不能用，看到函数本质是本题重点，并非要考查二重积分运算。
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