Question

线积分问题

如题：设L是由曲线y^3=x^2与直线y=x连接起来的正向闭曲线，计算 (x^2)ydx+y^2dy的曲线积分(积分符号打不出来就不打了，是让算第二类曲线积分，有方向的那种)
有几个问题：
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1：题中问题是让求(x^2)ydx+y^2dy的曲线积分
可不可以这样理解:
曲线y^3=x^2与直线y=x处于一个F=(x^2y,y^2)的一个向量场中(因为P=(x^2)y,Q=y^2)
即
F=(x^2)yi+y^2j=(x^2)y+y^2(其中i,j为单位向量，你懂的)
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2：函数F=(x^2)y+y^2与曲线y^3=x^2与直线y=x有什么关系呢？没有这个函数而想求曲线积分的话，是不是就是第一类曲线积分呢？
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3：如果我把函数F换成别的函数，举个例子:x^3y+x^3y^3，是不是结果就会改变呢？(因为物理上来讲，是放在了不同的向量场里，做的功是不一样的)
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4:第一类曲线积分是不是第二类曲线积分在保守场里面的特殊情况呢？(因为我看老外都没有第一类曲线积分和第二类曲线积分的概念)，如果是那么我会有这么一个矛盾的结论:如果在保守场下，单连通区域的第一类曲线积分结果为0，这是怎么回事?

Answer 1

设C是由曲线y³=x²与直线y=x连接起来的正向闭曲线，计算 ∮x²ydx+y²dy的曲线积分
解：C：y=x^(2/3)，y=x；区域D：由曲线C所围的区域；P=x²y，Q=y²；∂Q/∂x=0，∂P/∂y=x²；
故∮x²ydx+y²dy=(D)∫∫(∂Q/∂x-∂P/∂y)dxdy=(D)∫∫(-x²)dxdy=[0，1]-∫x²dx[x，x^(2/3)]∫dy
=[0，1]-∫x²dx(y)︱[x，x^(2/3)]=[0，1]-∫x²[x^(2/3)-x]dx=[0，1]∫[x³-x^(5/2)]dx
=[x⁴/4-(2/7)x^(7/2)]︱[0，1]=1/4-2/7=-1/28

追问

我晕，计算我会啊，我问的不是计算

追答

1.函数P(x，y)；Q(x，y)的物理意义，你可以根据需要赋给，比如可以是力F=P(x，y)i+Q(x，y)j
也可以是你说的别的什么向量；
2. 函数F=(x^2)y+y^2与曲线y^3=x^2与直线y=x有什么关系呢？前者是被积函数，后者是积分路径，两者的关系由实际问题的性质所规定；在抛弃问题物理意义的情况下，它们是互相独立的！
不给积分路径，就不是曲线积分。
3：如果我把函数F换成别的函数，举个例子:x^3y+x^3y^3，是不是结果就会改变呢结果当然不同！
4.本人孤陋寡闻，只知道有对弧长的曲线积分和对坐标的曲线积分，对你说的第一类，第二类
曲线积分，是第一次听到，无法回答。