Question

如图，在RT△ABC中，∠ACB=90度，CD⊥AB，垂足为D，AF平分∠CAB，交CD于点E，交CB于点F。求证CE=CF

Answer 1

（1）根据平分线的定义可知∠CAF=∠EAD，再根据已知条件以及等量代换即可证明CE=CF，
（2）根据题意作辅助线过点E作EG⊥AC于G，根据平移的性质得出D′E′=DE，再根据已知条件判断出△CEG≌△BE′D′，可知CE=BE′，再根据等量代换可知BE′=CF．
（1）证明：∵AF平分∠CAB，
∴∠CAF=∠EAD，
∵∠ACB=90°，
∴∠CAF+∠CFA=90°，
∵CD⊥AB于D，
∴∠EAD+AED=90°，
∴∠CFA=∠AED，
∵∠AED=∠CEF，
∴∠CFA=∠CEF，
∴CE=CF；

（2）BE′=CF．
证明：如图，过点E作EG⊥AC于G，
又∵AF平分∠CAB，ED⊥AB，
∴ED=EG．
由平移的性质可知：D′E′=DE，
∴D′E′=GE，
∵∠ACB=90°，
∴∠ACD+∠DCB=90°
∵CD⊥AB于D，
∴∠B+∠DCB=90°，
∴∠ACD=∠B，
在Rt△CEG与Rt△BE′D′中， ，
∴△CEG≌△BE′D′，
∴CE=BE′，
由（1）可知CE=CF，
∴BE′=CF．
本题主要考查了平分线的定义，平移的性质以及全等三角形的判定与性质，难度适中．

Answer 2

因为，∠ACB=90度，所以，∠CAF+∠CFA=90度。
因为，CD⊥AB，所以，∠ADE=90度。所以，∠EAD+∠AED=90度。
因为，AF平分∠CAB，所以，∠CAF=∠EAD，所以，∠CFA=∠AED。
因为，∠AED与∠CEF是对顶角，所以∠CEF=∠CFA，所以CE=CF。

Answer 3

证明：∵AF平分∠CAB，
∴∠CAF=∠EAD，
∵∠ACB=90°，
∴∠CAF+∠CFA=90°，
∵CD⊥AB于D，
∴∠EAD+AED=90°，
∴∠CFA=∠AED，
∵∠AED=∠CEF，
∴∠CFA=∠CEF，
∴CE=CF；

Answer 4

。。。