Question

在平面直角坐标系中，函数y=-3/4x+6的图像分别交x轴、y轴于点A、B,直线BC与x轴交于C,点C是线段OA的中点

求在直线AB上是否存在一点M，使△BCM为等腰三角形，若存在，求出点M的坐标

Answer 1

分析：在直线y=(-3/4)x上，一定存在)一点M，使△BCM为等腰三角形。
因为|BC|<|AB|, 可以以B(0,6)为圆心，以|BC|为半径，画弧交直线y=-(3/4)x于M..连接BM,CM,
则△BCM即为所求。(BC=BM).
解：由题设知，A(8,0), B(0,6)., C为OA的中点，故C(4,0)
|BC|^2=(4^2+(0-6)^2=52
过圆心B(0,6),半径R=2√13的圆的方程为：x^2+(y-6)^2=52.
联解直线与圆的交点：将y=(-3/4)x代入圆方程中，得：
x^2+(-3/4x+6-6)^2=52.
x^2+9x^2/16=52.
25x^2=52*16.
5x=8√13.
x=8√13/5,
将x值代.入直线方程中，解得;y=-6√13/5.
∴所求M点的坐标为：M(8√13/5,-6√13/5).

追问

还有两种情况，当BM=CM时，该怎么算

追答

这就更简单了：作BC的中垂线交直线y=-3/4x于M,自己做一下就可以了。

追问

做了，但怎么求坐标呀

追答

求出BC的中垂线方程，再联立解两条直线的方程，其交点坐标就是M点的坐标。
你自己做一下，有好处。
下面我也做一遍，供你学习参考。
先求BC线段的中点D的坐标：x=(0+4)/2=2； y=(6+0)/2=3. 即得：D(2,3).
BC线段的斜率k1=(y1-y2)/(x1-x2)=(6-0)/(0-4)=-3/2. 【B(0,6), C(4,0)】
即，k1=-3/2.
设过BC中点D(2,3)的直线L的斜率为k2, ∵L⊥BC,∴k1*k2=-1,
即, k2=-1/k1=2/3.
直线L的方程，利用点斜式：y-3=(2/3)(x-2),
y=(2/3)(x-2)+3.
y=2x/3+5/3 ----(2)
联立解AB直线方程y=-3x/4+6 与方程(2)：
即， -(3/4)x+6=(2x/3)+5/3
各项都乘以12：-9x+72=8x+20.
17x=52,
x=52/17.
将x值代入y=-3x/4+6 （或y=2x/3+5/3) 中，都可以解得：
y=63/17.
∴M(52/17,63/17)是所求的点，即MC=MB.