Question

如图，已知△ABC是等边三角形，点D、E分别在边BC、AC上

如图，已知△ABC是等边三角形，点D、E分别在边BC、AC上．
（1）如果AD⊥BC，BE⊥AC，试证明∠APE=60°的理由；
（2）如果BD=EC，那么“∠APE=60°”是否还能成立？请说明理由

Answer 1

这是道普通几何题解法如下1 三角形ABC是等边三角形，所以三个角都是60°（三角形边相等所对的角就相等）。2 AD⊥BC则AD是BC的垂直平分线（直角三角形AAS全等原理），由于∠ADC90° ∠ACD=60° 所以∠ACD=30°（三角形内角和180°原理）3 △ADE中 ， ∠ACD=30°、∠AEB90°（BE⊥AC）所以∠APE=60°（三角形内角和180°原理）
由于AD、BE都是等边△ABC三角形垂直平分线，所以 必须BD=DC=CE=EA，（直角三角形AAS全等原理）根据上面推理，只有∠APE=60°一种结果。

Answer 2

（1）证明：∵△ABC是等边三角形中，AD⊥BC，BE⊥AC，
∴∠DAC=30°，
∴在直角△AEP中，
∠APE=90°-30°=60°；

（2）解：仍然成立．理由如下：
在△ABD和△BCE中，
AB=BC ∠ABD=∠BCE BD=CE ，
∴△ABD≌△BCE，
∴∠BAD=∠CBE，又∠CBE+∠ABE=60°，
∴∠APE=∠BAD+∠ABE=60°．

这里是魅。很高兴为您解答。

Answer 3

（1）证明：∵△ABC是等边三角形中，AD⊥BC，BE⊥AC，
∴∠DAC=30°，
∴在直角△AEP中，
∠APE=90°-30°=60°；
（2）解：仍然成立．理由如下：
在△ABD和△BCE中，
AB=BC∠ABD=∠BCEBD=CE
，
∴△ABD≌△BCE，
∴∠BAD=∠CBE，又∠CBE+∠ABE=60°，
∴∠APE=∠BAD+∠ABE=60°．