Question

如图,在梯形ABCD中,AB‖CD,∠BAD=90°,以AD为直径的半圆O与BC相切.

如图,在梯形ABCD中,AB‖CD,∠BAD=90°,以AD为直径的半圆O与BC相切.
（2）若A D = 12，角BCD=60度，圆O1与半圆O外切，并于BC、CD相切，求圆O1的半径

Answer 1

设 圆0与BC相切于E 连接OE OC
显然 三角形CDO 全等于三角形CEO 且O1在CO上
DO=6，则CO=12 设公切点为F 过F做CO垂直平分线GH交 BC于G CD于H 容易证明，三角形CGH为等边三角形，而O1为重心，于是，半径O1F=1/3CF = 2

Answer 2

证明：∵AB∥CD，∠BAD=90°，以AD为直径的半圆O与BC相切，
∴AB，BC，CD均与半圆O相切，
∴∠ABO=∠CBO，∠DCO=∠BCO．
又∵AB∥CD，
∴∠ABC+∠BCD=180°，
即∠ABO+∠CBO+∠BCO+∠DCO=180°．
∴2∠CBO+2∠BCO=180°，
于是∠CBO+∠BCO=90°，
∴∠BOC=180°-（∠CBO+∠BCO）=180°-90°=90°，
即OB⊥OC．