函数f(x)的定义域为[0,1],且f(0)=f(1),当x1、x2∈[0,1],x1≠x2时都有
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如果对于任意0<x<1,总有f(x)=f(0)=f(1),
则:|f(x2)-f(x1)|=0
所以:显然|f(x2)-f(x1)|<1/2成立·
下面我们讨论其它情况,
设当x=m, f(m)为最大值;当x=n, f(n)为最小值, (其中0<m<1; 0<n<1)
当m<n,则由|f(x2)-f(x1)|<|x2-x1|,可以得到:
f(m)-f(0)<m
f(m)-f(n)<n-m
f(1)-f(n)<1-n
将以上三式相加得:2f(m)-2f(n)+f(1)-f(0)<1
而f(0)=f(1)
所以|f(m)-f(n)|<1/2
当n<m,则由|f(x2)-f(x1)|<|x2-x1|,可以得到:
f(0)-f(n)<n
f(m)-f(n)<m-n
f(m)-f(1)<1-m
将以上三式相加得:2f(m)-2f(n)+f(0)-f(1)<1
而f(0)=f(1)
所以:|f(m)-f(n)|<1/2
对于f(0)和f(1)本身就是极大值或极小值的情况,我们可以设当x=m, f(m)为最小值或极大值,
用以上相似的方法,我们可以求出|f(m)-f(1)|<1/2
所以,我们证明了:极大值和极小值差的绝对值<1/2
而显然:|f(x2)-f(x1)|<=极大值和极小值差的绝对值
所以:|f(x2)-f(x1)|<1/2
综合以上:|f(x2)-f(x1)|<1/2成立·
则:|f(x2)-f(x1)|=0
所以:显然|f(x2)-f(x1)|<1/2成立·
下面我们讨论其它情况,
设当x=m, f(m)为最大值;当x=n, f(n)为最小值, (其中0<m<1; 0<n<1)
当m<n,则由|f(x2)-f(x1)|<|x2-x1|,可以得到:
f(m)-f(0)<m
f(m)-f(n)<n-m
f(1)-f(n)<1-n
将以上三式相加得:2f(m)-2f(n)+f(1)-f(0)<1
而f(0)=f(1)
所以|f(m)-f(n)|<1/2
当n<m,则由|f(x2)-f(x1)|<|x2-x1|,可以得到:
f(0)-f(n)<n
f(m)-f(n)<m-n
f(m)-f(1)<1-m
将以上三式相加得:2f(m)-2f(n)+f(0)-f(1)<1
而f(0)=f(1)
所以:|f(m)-f(n)|<1/2
对于f(0)和f(1)本身就是极大值或极小值的情况,我们可以设当x=m, f(m)为最小值或极大值,
用以上相似的方法,我们可以求出|f(m)-f(1)|<1/2
所以,我们证明了:极大值和极小值差的绝对值<1/2
而显然:|f(x2)-f(x1)|<=极大值和极小值差的绝对值
所以:|f(x2)-f(x1)|<1/2
综合以上:|f(x2)-f(x1)|<1/2成立·
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