Question

函数f（x）的定义域为[0,1],且f（0）=f（1），当x1、x2∈[0,1]，x1≠x2时都有

|f(x2)-f(x1)|＜|x2-x1|，求证：|f（x2）-f（x1）|＜1／2

Answer 1

如果对于任意0<x<1,总有f(x)=f(0)=f(1),
则：|f(x2)-f(x1)|=0
所以：显然|f(x2)-f(x1)|<1/2成立·

下面我们讨论其它情况，
设当x=m, f(m)为最大值；当x=n, f(n)为最小值, (其中0<m<1; 0<n<1)
当m<n，则由|f(x2)-f(x1)|＜|x2-x1|，可以得到：
f(m)-f(0)<m
f(m)-f(n)<n-m
f(1)-f(n)<1-n
将以上三式相加得：2f(m)-2f(n)+f(1)-f(0)<1
而f(0)=f(1)
所以|f(m)-f(n)|<1/2

当n<m，则由|f(x2)-f(x1)|＜|x2-x1|，可以得到：
f(0)-f(n)<n
f(m)-f(n)<m-n
f(m)-f(1)<1-m
将以上三式相加得：2f(m)-2f(n)+f(0)-f(1)<1
而f(0)=f(1)
所以：|f(m)-f(n)|<1/2

对于f(0)和f(1)本身就是极大值或极小值的情况，我们可以设当x=m, f(m)为最小值或极大值，
用以上相似的方法，我们可以求出|f(m)-f(1)|<1/2

所以，我们证明了：极大值和极小值差的绝对值<1/2
而显然：|f(x2)-f(x1)|<=极大值和极小值差的绝对值
所以：|f(x2)-f(x1)|<1/2

综合以上：|f(x2)-f(x1)|<1/2成立·