Question

若双曲线的焦点关于渐近线对称的点恰在双曲线上，则双曲线的离心率是

Answer 1

不妨设双曲线方程为x^2/a^2-y^2/b^2=1.右焦点(c,0)关于渐近线y=bx/a对称的点在双曲线上.过焦点又垂直渐近线的直线y=-a(x-c)/b.联合渐近线方程得对称中心的点坐标x0=a^2/c,y0=ab/c.对称的另一点坐标于是为(2x0-c,2y0),将其代入双曲线(2a^2-c^2)^2/c^2a^2-4a^b^c/c^2b^2=1,4a^2/c^2-4+c^2/a^c-4a^c/c^2=1.c^2/a^2=5.e=根号5