Question

某次数学竞赛有甲乙丙三道大题，共25人参加竞赛，每个同学至少选作一题。在所有没有解出甲题的同学中，解出

Answer 1

解：如下图所示，设只做出甲题的有a人,只做出甲、乙两题的有b人，只做出乙题的有c人,只做出甲、丙两题的有d人,做出甲、乙、丙三题的有e人,只做出乙、丙两题的有f人,只做丙题的人有g人.易得a,b,c,d,e,f,g≥0且都是整数(即都是非负整数).如图易得做出乙题的人一共有b+c+e+f个,我们现在要讨论的就是这个值.易得至少做一题的人有a+b+c+d+e+f+g个，∵共25人参加,每个人至少做出1题,∴a+b+c+d+e+f+g=25……①如图易得没做出甲题的人有c+f+g个,其中做出乙题的人有c+f个,做出丙题的人有g+f个,∵做出乙题的人是做出丙题的人的2倍,∴c+f=2(g+f)∴c=2g+f……②如图易得做出甲题的人有a+b+d+e个,余下的有c+f+g个,∵做出甲题的人比余下的人多1人,∴a+b+d+e=c+f+g+1……③如图易得只做出一道题的人有a+c+g个,其中仅做出甲题的有a个，∵只做出一道题的人中，有一半没做出甲题,∴a=1/2*(a+c+g),∴a=c+g……④①,③等价于(a+b+d+e)+(c+f+g)=25,(a+b+d+e)-(c+f+g)=1,由此易得a+b+d+e=13,c+f+g=12……⑤把②代入⑤第二式得3g+2f=12，∴g=(12-2f)/3=4-2f/3,∵f,g都是非负整数，∴3|f且f,4-2f/3∈N∴有且仅有三种情况：(Ⅰ)f=0时,g=4；(Ⅱ)时f=3,g=2；(Ⅲ)时f=6,g=0；(Ⅰ)当f=0(g=4)时；由②得c=2g+f=8,代入④得a=c+g=12,代入⑤第一式得b+d+e=13-a=1.由于b,c,d≥0且都是整数,故d可以取值0,1：(ⅰ)d=0时,b+e=1；所以b+e+c+f=1+8+0=9,∴共9人做出乙题；(ⅱ)d=1时,b+e=0；所以b+e+c+f=0+8+0=8,∴共8人做出乙题；(Ⅱ)当f=3(g=2)时,由②得c=2g+f=7,代入④得a=c+g=9,代入⑤第一式得b+d+e=13-a=4.由于b,c,d≥0且都是整数,故d可以取值0,1,2,3,4：(ⅰ)d=0时,b+e=4；所以b+e+c+f=4+7+3=14,∴共14人做出乙题；(ⅱ)d=1时,b+e=3；所以b+e+c+f=3+7+3=13,∴共13人做出乙题；(ⅲ)d=2时,b+e=2；所以b+e+c+f=2+7+3=12,∴共12人做出乙题；(ⅳ)d=3时,b+e=1；所以b+e+c+f=1+7+3=11,∴共11人做出乙题；(ⅴ)d=4时,b+e=0；所以b+e+c+f=0+7+3=10,∴共10人做出乙题；(Ⅲ)当f=6(g=0)时；由②得c=2g+f=6,代入④得a=c+g=6,代入⑤第一式得b+d+e=13-a=7.由于b,c,d≥0且都是整数,故d可以取值0,1,2,3,4,5,6,7：(ⅰ)d=0时,b+e=7；所以b+e+c+f=7+6+6=19,∴共19人做出乙题；(ⅱ)d=1时,b+e=6；所以b+e+c+f=6+6+6=18,∴共18人做出乙题；(ⅲ)d=2时,b+e=5；所以b+e+c+f=5+6+6=17,∴共17人做出乙题；(ⅳ)d=3时,b+e=4；所以b+e+c+f=4+6+6=16,∴共16人做出乙题；(ⅴ)d=4时,b+e=3；所以b+e+c+f=3+6+6=15,∴共15人做出乙题；(ⅵ)d=5时,b+e=2；所以b+e+c+f=2+6+6=14,∴共14人做出乙题；(ⅶ)d=6时,b+e=1；所以b+e+c+f=1+6+6=13,∴共13人做出乙题；(ⅷ)d=7时,b+e=0；所以b+e+c+f=0+6+6=12,∴共12人做出乙题；易得“情况自变量”只有f(只做出乙、丙的人数)与d(只做出甲、丙的人数),所以综合以上15种情况，我们有：⑴当没有人只做出乙、丙两题，也没有人只做出甲、丙两题时，共9人做出乙题；⑵当没有人只做出乙、丙两题，共1人只做出甲、丙两题时，共8人做出乙题；⑶当共3人只做出乙、丙两题，没有人只做出甲、丙两题时，共14人做出乙题；⑷当共3人只做出乙、丙两题，共1人只做出甲、丙两题时，共13人做出乙题；⑸当共3人只做出乙、丙两题，共2人只做出甲、丙两题时，共12人做出乙题；⑹当共3人只做出乙、丙两题，共3人只做出甲、丙两题时，共11人做出乙题；⑺当共3人只做出乙、丙两题，共4人只做出甲、丙两题时，共10人做出乙题；⑻当共6人只做出乙、丙两题，没有人只做出甲、丙两题时，共19人做出乙题；⑼当共6人只做出乙、丙两题，共1人只做出甲、丙两题时，共18人做出乙题；⑽当共6人只做出乙、丙两题，共2人只做出甲、丙两题时，共17人做出乙题；⑾当共6人只做出乙、丙两题，共3人只做出甲、丙两题时，共16人做出乙题；⑿当共6人只做出乙、丙两题，共4人只做出甲、丙两题时，共15人做出乙题；⒀当共6人只做出乙、丙两题，共5人只做出甲、丙两题时，共14人做出乙题；⒁当共6人只做出乙、丙两题，共6人只做出甲、丙两题时，共13人做出乙题；⒂当共6人只做出乙、丙两题，共7人只做出甲、丙两题时，共12人做出乙题.

Answer 2

假设只解出甲题的人数是a人，只解出乙题的人数为b人，只解出丙题的人数为c人，解出甲乙的人 数为d人，解出甲丙的人数为e人，解出乙丙的人数为f人，三题均解出的人数为g人。那么
a+b+c+d+e+f+g=25①
b+f=2(c+f)②
a-d-e-g=1③
a/(a+b+c)=1/2④
由④部可得出a=b+c
由③部可得出a=d+e+g+1
化解①得3(b+c)+f=26
由第②部可得出f=b-2c，b-2c>0
将以上代入①式可得出4b+c=26
又因a=b+c,满足条件的就只有
b=6这种情况,所以只解出乙题的学生为6人