Question

设函数f(x)=-x^2+4ax-3a^2

1. 当a=1,x∈[-3,3]时,求函数f(x)的取值范围
2. 若0＜a＜1，x∈[1-a，1+a]时，恒有-a≤f（x）≤a成立，试确定a的取值范围

求两问的详细过程

Answer 1

1. 当a=1,f(x)=-x^2+4x-3=-(x-3)(x-1)
x=2,f(x)=1,
x=-3,f(x)=-24
f(x)∈[-24,1]
2. 若0＜a＜1，
f(x)=-x^2+4ax-3a^2
=-(x-a)(x-3a)
f(x)关于x=2a对称
最大值=a
最小值=-（1-2a)(1-4a)
-a≤-（1-2a)(1-4a)
0≤8a^2-7a+1
1≤a或a≤-1/8
故1≤a

Answer 2

(1) f(x)=-x^2+4ax-3a^2=-(x-2a)^2+a^2 当a=1 f(x)= - (x-2)^2+1
从图上可知f(-3)=-24最小 f(2)=1最大 -24<=f(x)<=1
(2) f(x)的对称轴为x=2a
当0<a<0.5时 a<2a<1<1+a 开口向下，
最大f(2a)=-(2a)^2+4a*2a-3a^2=a^2
最小f(1+a)=-(1+a)^2+4a*(1+a)-3a^2=2a-1
-a≤2a-1≤a^2#a 且0<a<0.5 所以0<a<0.5（1）
当0.5≤a<1时， a<1<2a<1+a
最大f(2a)=a^2 最小f(1-a)=- (1-a)^2+4a*(1-a)-3a^2=- 8a^2+6a-1
-a≤-8a^2+6a-1≤a^2≤a 且0.5≤a<1 所以0.5≤a<1 （2）
由(1)(2)得0<a<1

Answer 3

第一问，f(x)∈[-24,1]
第二问，f(x)=-(x-2a)^2+a^2 对称轴x=2a
1+a-2a=1-a＞0 所以1+a在2a右侧
现在讨论1-a在2a哪侧
一、（1-a）-2a＞0时，即0＜a＜1/3
区间【1-a，1+a】在对称轴右侧
f(x)max=f(1-a)≤a 结果恒成立
f(x)min=f(1+a）≥-a结果 1/3≤a＜1
所以这情况无解
二、（1-a）-2a＜0即1/3≤a＜1
对称轴在【1-a，1+a】
f(x)max=f(2a)≤a 0＜a＜1
f(1-a）≥-a 7+√17)/16≤a≤(7+√17)/16

f(1+a）≥-a 1/3≤a＜1

由以上2种情况可得
因此a在 【[1/3，(7+√17)/16】