Question

如图,在梯形ABCD中,AD‖BC,AD=AB=DC.如果E是BC的中点,求证:四边形ABED是菱形

。。（2）如果BC=2AD，求证：BD⊥DC。（3）延长BA、CD交于点F，求证：DC＝DF。（4）如果梯形ABCD的周长为30，DBC＝30°，求AD的长

Answer 1

（1）连接AE，AE和BD相交于O。
∵AD‖BC ∴∠DAE=∠BEA，∠ADB=∠EBD
∴△AOD∽△EOB
∴OA：OE=OB：OD
又∵∠AOB和∠EOD是对顶角
∴△AOB∽△EOD ∴∠ABD=∠EDB
∴AB‖DE
∵AB‖DE，AD‖BE，且AB=AD
∴四边形ABED是菱形
（2）∵ABED是菱形 ∴DE=BE
又∵E是BC的中点，且AD=DC，BE=EC
∴DE=EC=DC
∴△DEC是正三角形，∠C=∠DEC=∠EDC=60°
∵∠DBE=∠BDE，∠EDC=60°=∠DBE+∠BDE
∴∠DBE=∠BDE=30° ∴在△BDC中∠BDC=90°，即BD⊥DC
（3）∵AD‖BC ∴∠C=∠ADF=60°
∵AF‖DE，AD‖BC ∴∠FBC=∠DEC=∠FAD=60°
∴△FAD是正三角形 DF=AD
∵AD=DC
∴DC=DF
(4)上面都证明过了，AB=AD=BE=EC=DC，所有周长30，AD=6

Answer 2

题目有错误，只有在BC=2AD时，这个四边形才是菱形。