Question

已知二次函数f(x)=ax^2+bx+c(a≠0)且满足f(-1)=0，对任意实数x，恒有f（x）-x≥0，

并且当x∈（0，2）时，恒有f（x）≤（x+1\2）^2
1.求f（1）的值
2.证明a＞0，c＞0
3.当x∈[-1,1]时，函数g(x)=f(x)-mx（x∈R）是单调函数，求证：m≤0或m≥1

Answer 1

（1）答案为1(下面是解答，a2表示a的平方）
解：f(-1)=a-b+c=0得a+c=b两边平方得a2+2ac+c2=b2两边同时减4ac得b2-4ac=a2-2ac+c2(a-c)2≥0；
f(x)-x=ax^2+(b-1)x+c≥0，函数恒大于0由可得(b-1)2-4ac≤0拆开得2b-1≥b2-4ac,前面已证b2-4ac=(a-c)2≥0，所以2b-1≥b2-4ac≥0；x∈(1,2)时f（x)≤((x+1)/2)平方，将1代入得f(1)=a+b+c≤1,又a+c=b（前面已证），
所以2b≤1， 前面有2b-1≥0，两不等式可得b=1/2。 所以f(1)=a+b+c=2b=1.

(2)证明:（1）中已证2b-1≥b2-4ac≥0又b=1/2,所以0≥b2-4ac≥0,可知
b2-4ac=0，又a+c=b,得a=1/4,c=1/4.

（3）证明：f(x)=1/4x2+1/2x+1/4.g(x)在[-1,1]单调，及单调递增或者单调递减，也就是导函数恒大于0或者恒小于0。 对g(x)求导即g'(x)=f'(x)-mx'=1/2x+1/2-m在[-1,1]恒≥0或者恒≤0。
当恒≥0时：1/2x+1/2-m≥0，m≤1/2x+1/2,m小于1/2x+1/2的最小值，将-1代入得m≤0
当恒≤0时：1/2x+1/2-m≤0，m≥1/2x+1/2,m大于1/2x+1/2的最大值，将1代入得m≥1。
知识点：1、二次函数有2个解时，b2-4ac>0,1个解时，b2-4ac=0， 无解，也就是函数曲线与X轴不相交时，b2-4ac＜0。 如题f(x)-x≥0就可知(b-1)2-4ac≤0； 2、函数的单调性，表示单调递增或者单调递减，在某一定义域内单调递增就表示这一定义域内导函数大于0， 递减就小于0， 如题（3）说函数g(x)在[-1,1]单调，就把g(x)对x求导，倒数是一个1次函数，这个1次函数在[-1,1]内不能既有正的也有负的，这样就不是单调了。

Answer 2

我想问问：（x+1\2）^2是【2/（x+1）】²还是【（x+1）/2】²还是（x+0.5）²

追问

是【（x+1）/2】²

追答

嗯，稍等！

追问

嗯 麻烦你拉

追答

解：1，由对任意实数x，恒有f（x）-x≥0，
可令x=1得：f（1）-1≥0，即f（1）≥1
当x∈（0，2）时，恒有f（x）≤（x+1\2）^2
可令x=1得：f（1）≤（1+1\2）^2=1
所以1≤f（1）≤1
所以f（1）=1
2，∵f（-1）=0，f（1）=1
∴a-b+c=0，a+b+c=1
联立上式解得：b=1/2，所以f（x）=ax²+x/2+c
由对任意实数x，恒有f（x）-x≥0，即：ax²-1/2x+c≥0恒成立
对于二次函数，使得ax²-1/2x+c≥0在x∈R上恒成立，必定开口向上即a＞0
且△=1/4-4ac≤0，即：1/16≤ac，其中a＞0，所以c＞0
3，依题，g(x)=f(x)-mx=ax²+x/2+c-mx=ax²+（1/2-m）x+c
二次函数g(x)的单调性为：
当x≥（2m-1）/4a时，函数单调递增
当x≤（2m-1）/4a时，函数单调递减
由于函数在x∈[-1,1]时是单调函数，有如下两种情况：
①函数在x∈[-1,1]时是单调递增函数则：
-1≥（2m-1）/4a

Answer 3

好复杂

Answer 4

哦