Question

如图，在三角形ABC中,点O是角平分线AD、BE、CF的交点，OH垂直BC于点H。 则：

（1）∠BOC与∠BAC有何数量关系？
（2）∠BOD与∠COH有何数量关系?请你说明理由；
（3）你还可以类比推出哪些角之间有∠BOC与∠BAC那样的关系？
请会的人教教，快点！！！要过程！！

Answer 1

（1）∠BOC = 180° - ∠OBC - ∠OCB (三角形内角和180°)
O是三角形ABC的3条角平分线的交点 所以∠OBC = (0.5)∠ABC, ∠OCB = (0.5)∠ACB
∠BOC = 180°- 0.5∠ABC -0.5∠ACB = 180° - 0.5(∠ABC+∠ACB)
因为 ∠ABC + ∠ACB = 180°-∠BAC(三角形内角和180°)
所以∠OBC = 180° - 0.5 （180°-∠BAC） = 90° - 0.5∠BAC
所以角BOC与90°+二分之一角BAC之间的数量关系 是相等关系

（2）∠DOB = ∠EBA+∠BAD (三角形一个外角 = 另两个内角的和)
∠DOB = 0.5（∠ABC+∠BAC） (角平分线)
= 0.5 (180°-∠ACB) (三角形内角和180°)
= 90° - 0.5∠ACB
= 90° - ∠OCG
∠GOC = 180° - 90° - ∠OCG （三角形内角和180°）
所以 ∠DOB = ∠GOC

Answer 2

记∠BAD=∠CAD=∠1;∠ABE=∠CBE=∠2;∠BCF=∠ACF=∠3
(1)
在大△ABC中根据三角形内角和为180°可得
2∠1+2∠2+2∠3=180°
所以∠1+∠2+∠3=90°
那么在△ABC中，∠BAC=2∠1
同样地，在△BOC中，∠BOC=180°-∠2-∠3=90°+∠1
∠BOC-∠BAC=90°+∠1-2∠1=90°-∠1=∠2+∠3＞0
∠BOC+∠BAC=90°+∠1+2∠1=90°+3∠1不满足普通情况下的互补关系（绝对不互余）
当且仅当∠1=30°，也即∠BAC=60°时，∠BOC和∠BAC互补。
所以∠BOC＞∠BAC，当且仅当∠BAC=60°时，∠BOC和∠BAC互补、
(2)
①如果AB＞AC,即D点比H点更接近B点(点顺序为B,D,H,C)
∵∠BOD为△AOB中∠AOB的外角
∴∠BOD=∠BAO+∠ABO=∠1+∠2
∵OH⊥HC
∴∠COH=90°-∠HCO=90°-∠3
∴∠BOD-∠COH=(∠1+∠2+∠3)-90°
=90°-90°=0°
所以∠BOD=∠COH
②如果AB=AC，则H,D重合
则△ABC为等腰三角形
则∠2=∠3
很显然∠BOD(∠BOH)=90°-∠2
∠COH(∠COD)=90°-∠3
∠BOD=∠COH
③如果AB＜AC，即H点比D点更接近B点(点顺序为B,H,D,C)
只需要先证明∠BOH=∠COD(证法同①)
那么∠BOD=∠BOH+∠HOD,∠COH=∠COD+∠HOD
很显然∠BOD=∠COH
(3)
∠AOC>∠ABC(同样地，也有当且仅当∠ABC=60°时，∠AOC和∠ABC互补)
∠AOB>∠ACB(同样地，也有当且仅当∠ACB=60°时，∠AOB和∠ACB互补)
过O作AB,AC的垂线OM,ON分别交AB,AC于M,N
同样可以得出∠AOM=∠BOF,∠AON=∠COE

Answer 3

Answer 4

朋友，图形。数形结合

Answer 5

(1)∠BOC=90+1/2∠BAC

(2)
∠BOD=∠COH

(3)
∠AOB=90°+1/2∠ACB
∠AOC=90+1/2∠ABC