Question

如图,在梯形ABCD中,AD‖BC,AD=AB=DC.如果BC=2AD，求证：BD⊥DC

Answer 1

证明：过点A作AE∥CD，交BC于E
∵AE∥CD，AD∥BC
∴平行四边形AECD
∴CE＝AD，AE＝CD
∵AB＝CD
∴AE＝AB
∵BC＝2AD，BE＝BC-CE
∴BE＝AD
∵AB＝AD
∴BE＝AB
∴等边△ABE
∴∠ABE＝∠AEB＝60
∵AE∥CD
∴∠C＝∠AEB＝60
∵AD＝AB
∴∠ABD＝∠ADB
∵AD∥BC
∴∠CBD＝∠ADB
∴∠CBD＝∠ABD
∴∠CBD＝∠ABC/2＝30
∴∠CBD+∠C＝30+60＝90
∴∠BDC＝90
∴BD⊥DC

追问

.如果E是BC的中点,求证:四边形ABED是菱形

追答

证明：
∵E是BC的中点
∴CE＝BC/2
∵BC＝2AD
∴CE＝AD
∵AD∥BC
∴平行四边形AECD （对边平行且相等）
∴AE＝CD
∵AD＝CD
∴AE＝CD＝AD
∴AE＝CE＝AD＝CD
∴菱形AECD

追问

求证:四边形ABED是菱形时，BC＝2AD这个条件不能用

追答

抱歉，如果不用这个条件，你给的条件就不足了。
试想一下，如果BC＝4AD的时候，E是BC的中点，则CE＝2AD，怎么也不可能是菱形了。