Question

在锐角三角形ABC中,a,b,c分别为角A,B,C所对的边,且根号3倍a=2c.sinA，若c=根号3，求三角形周长取值范围

Answer 1

：∵√3*a=2c*sinA,
∵a/sinA=c/sinC，∴sinC=√3/2
∵锐角三角形，∴C＝60°
由余弦定理，得 cosC=(a^2+b^2-c^2)/2ab,
cos60°=(a^2+b^2-(√3)^2)/2ab=1/2
∴ab=a^2+b^2-3
则 ab=a^2+b^2-3≥2ab-3， ∴ab≤3 ①
又 a+b>=2√ab②
由①②得 a+b最大值为 2*3=6
则 a+b<=6 ③
又由三角形两边之和大于第三边，得
a+b>c=√3
则a+b最小值为 >√3
则 a+b>√3 ④
又 c=√3⑤
由③④⑤得 三角形周长取值范围是 2√3<a+b+c<=6+√3
则 (2√3,6+√3]

追问

今天发答案了，你求的范围错了，应该是（3+√3，3√3]

追答

你好！有部分地方算错了。

解∵√3*a=2c*sinA,
∵a/sinA=c/sinC，∴sinC=√3/2
∵锐角三角形，∴C＝60°
由余弦定理，得 cosC=(a^2+b^2-c^2)/2ab,
cos60°=(a^2+b^2-(√3)^2)/2ab=1/2
∴ab=a^2+b^2-3
则 ab=a^2+b^2-3≥2ab-3， ∴ab≤3 ①
又 a+b>=2√ab②
由①②得 a+b最大值为 2√ab=2√3
则 a+bc=√3
则a+b最小值为 >√3
则 a+b>√3 ④
又 c=√3⑤
由③④⑤得 三角形周长取值范围是 2√3<a+b+c<=2√3+√3
则 (2√3,3√3]