Question

如图,四边形OABC的四个顶点坐标分别为O(0,0),A(8,0),B(4,4),C(0,4),直线l:y=x+b保持与四边形OABC的边交于点

如图,四边形OABC的四个顶点坐标分别为O(0,0),A(8,0),B(4,4),C(0,4),直线l:y=x+b保持与四边形OABC的边交于点M、N（M在折线AOC上，N在折线ABC上）.设四边形OABC在l右下方部分的面积为S1，在l左上方的面积为S2，记S为S1、S2的差（S≥0）.
（1）求∠OAB的大小；
（2）当M、N重合时，求l的解析式；
（3）当b≤0时，问线段AB上是否存在点N使得S=0？若存在，求b的值；若不存在，请说明理由；
（4）求S与b的函数关系式.

Answer 1

解：（1）过点B过BE⊥x轴，垂足为E．点E（4，0），
∴BE=4，AE=4，
∴△ABE为等腰直角三角形，
∴∠OAB=45°，
答：∠OAB=45°．

（2）当点M、N重合时，应重合到点A（8，0），或点C（0，4）
当重合到点A时，把A（8，0）代入y=x+b得：b=-8，
直线l的解析式y=x-8．
当重合到点C时，把C（0，4）代入y=x+b得：b=4，
直线l的解析式y=x+4．

（3）四边形OABC的面积为×4（4+8）=24，
直线l：y=x+b与x轴的交角为45°，△AMN为等腰直角三角形．
当S=0时，△AMN的面积为四边形OABC的面积的一半，即12．
过点N作x轴的垂线NH，
则NH=AH=MH，
设NH=a，
×2a×a=12，
解得：a=2，
∴OH=8-2，
∴点N的坐标为（8-2，2），
代入y=x+b得：b=4-8．
答：当b≤0时，线段AB上存在点N使得S=0，b的值是4-8．

（4）当4-8≤b＜0时，
OM=-b，AM=8+b，
设直线AB的解析式是y=cx+d，
把A（8，0），B（4，4）代入得：，
解得：，
y=-x+8，
解方程组得：，
S1=（）2=，
S2=24-S1，
S=S1-S2=×（8+b）×-[24-×（8+b）×]=b2+8b+8，
当0≤b≤4时，OM=b，CM=4-b，
S2=（4-b）2，S1=24-S2，
S=S1-S2=-b2+8b+8，
-8＜a＜-8+4时，S1=（）2=，
S2=24-S1，
S=S1-S2=×（8+b）×-[24-×（8+b）×]=b2+8b+8，
∴当0≤b≤4时，S与b的函数关系式是S=-b2+8b+8，
当4-8≤b＜0或-8＜b＜-8+4时，S与b的函数关系式是S=b2+8b+8．

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追问

天啊！哥，没有图，你怎么做的？

Answer 2

∠OAB=45度