Question

如图，在等腰梯形ABCD中，AD平行BC,M,N分别为AC,BC的中点，E,F分别是BM,CM的中点

等腰梯形ABCD中，M、N分别是上、下两底AD、BC的中点，E、F分别为,MB、CM的中点。
（1）求证△MAB≌△MDC；
（2）求证：四边形MENF是菱形：
（3）若点P是BC上任一点，AD:BC=2:3，梯形ABCD的面积为10，求四边形MEPF的面积

Answer 1

证明：由三角形中位线定理可得EN∥CM且EN=1/2CM，FN∥BM且FN=1/2BM，
所以四边形MENF是平行四边形，
再由SAS可得△ABM≌△DCM，
2）、由△ABM≌△DCM
所以BM=CM，
所以EN=FN，
所以四边形MENF是菱形；
3）、连接MN MN垂直BC（2已证）
所以菱形ABCD的面积=(AD+BC)*MN/2=10 AD:BC=2:3
设：AD=2X BC=3X (2X+3X)*MN/2=10 得：MN=4/X
因为三角形MDC的面积=MD*MN/2 M是AD的中点 所以AM=PM=AD/2=X 因为E,F是BM,CM的中点 所以EF是三角形BMC的中位线
EF//BC 因为平行线间距离处处相等 所以S三角形EFP=S三角形EFN
因为SMEPF=SEPF+SEMF=SENF+SEMF=SMENF,而MENF是菱形，所以
SMENF=1/2(MN*EF),因为MN=4/X,EF是三角形BMC的中位线，所以
EF=1/2BC=3/2X，所以SMENF=1/2*3/2X*4/X=3，所以SMEPF=3

追问

打错了，是
若四边形MENF是正方形，则梯形的高与底边BC有何数量关系？

追答

那一问错了？BC=H+2H/√3

Answer 2

证明：由三角形中位线定理可得EN∥CM且EN=1/2CM，FN∥BM且FN=1/2BM，
所以四边形MENF是平行四边形，
再由SAS可得△ABM≌△DCM，
2）、由△ABM≌△DCM
所以BM=CM，
所以EN=FN，
所以四边形MENF是菱形；
3）、连接MN MN垂直BC（2已证）
所以菱形ABCD的面积=(AD+BC)*MN/2=10 AD:BC=2:3
设：AD=2X BC=3X (2X+3X)*MN/2=10 得：MN=4/X
因为三角形MDC的面积=MD*MN/2 M是AD的中点 所以AM=PM=AD/2=X 因为E,F是BM,CM的中点 所以EF是三角形BMC的中位线
EF//BC 因为平行线间距离处处相等 所以S三角形EFP=S三角形EFN
因为SMEPF=SEPF+SEMF=SENF+SEMF=SMENF,而MENF是菱形，所以
SMENF=1/2(MN*EF),因为MN=4/X,EF是三角形BMC的中位线，所以
EF=1/2BC=3/2X，所以SMENF=1/2*3/2X*4/X=3，所以SMEPF=3