Question

如果数学高手还在线的话~（在线等！）

函数f(x)=1/2ax^2-(2a+1)x+2lnx，（1）求f(x)的单调区间
（2）设g(x)=x^2-2x, 若对任意x1 属于 (0,2] ，均存在x2属于 (0,2] ，使得f(x1)<g(x2), 求a的取值范围
如果过程懒得打，直接告诉我第二问的答案也可

Answer 1

1、f'(x)=ax-(2a+1)+2/x=[ax^2-(2a+1)x+2]/x=(ax-1)(x-2)/x 定义域x>0
讨论：
a<0 x=1/a<0不在定义域 则递增(0,2] 递减[2,+∞)
a=0 f'(x)=-(x-2)/x 递增(0,2] 递减[2,+∞)
0<a<1/2 递增（0,2]∪[1/a,+∞) 递减[2,1/a]
a=1/2 f'(x)=(x-2)^2/2x 总递增
a>1/2 递增（0,1/a]∪[2,+∞) 递减[1/a,2]
2、若对任意x1 属于 (0,2] ，均存在x2属于 (0,2] ，使得f(x1)<g(x2）
也就是说 maxf(x1)<maxg(x2)
而x2属于 (0,2] maxg(x2)=0
所以f（x1）<0恒成立
由第一问可知
a<=1/2时f(x)在0<x<=2递增，所以 maxf(x1)=f(2)<0 a>ln2-1
a>1/2 maxf(x1)=f(1/a)<0 则2lna+1/(2a)+2>0
对g(x)=2lnx+1/(2x)+2
g'(x)=(4x-1)/2x^2>0
则g(x)在x>1/2时递增，g(x)>g(1/2)=3-2ln2>0
则说明a>1/2满足题意
综上可得a的范围是a>ln2-1

Answer 2

（1)
f'(x)=ax-(2a+1)+2/x=[ax^2-(2a+1)x+2]/x=(ax-1)(x-2)/x
令f'(x)=0

i)当a=<0,x1=1/a(舍去）,x2=2，
由f'(x)>0,得f(x)单调递增区间x∈(0,2)
由f'(x)<0,得f(x)单调递减区间x∈(2,+∞)

ii)当1/2>a>0,0<x1=2<x2=1/a
由f'(x)>0,得f(x)单调递增区间x∈(0,2)U(1/a,+∞)
由f'(x)<0,得f(x)单调递减区间x∈(2,1/a)

iii)当a=1/2,有f'(x)>=0,且f'(x)不恒为0，得f(x)单调递增区间x∈(0,+∞)

iiii)当a>1/2,0<x1=1/a<x2=2
由f'(x)>0,得f(x)单调递增区间x∈(0,1/a)U(2,+∞)
由f'(x)<0,得f(x)单调递减区间x∈(1/a,2)

（2)只需对任意x1 ,x2∈ (0,2]使得f(x1)<min[g(x2)]
因为g(x)=x^2-2x=(x-1)^2-1>=-1得到min[g(x2)]=-1，x2∈ (0,2]
问题便转化为f(x)<-1在x∈ (0,2]恒成立
即1/2ax^2-(2a+1)x+2lnx<-1在x∈ (0,2]恒成立
分离常数a,即a>(2x-4lnx-2)/(x^2-4x),在x∈ (0,2]恒成立【注意x^2-4x<0,x∈ (0,2]】
该问题等价于a>maxh(x),其中h(x)=(2x-4lnx-2)/(x^2-4x),x∈ (0,2]
求导易得h'(x)=[2(x-2)(4lnx-x-2)]/[(x^2-4x)^2]下面判断h'(x)的符号只需判断4lnx-x-2的符号
引入F(x)=4lnx-x-2,求导得F'(X)=4/x-1=(4-x)/x,显然当x∈ (0,2],F'(x)>0得F(x)单调递增
那么F(x)<F(2)=4ln2-4<4lne-4=0
因此当x∈ (0,2)，h'(x)>0,h(x)单调递增,【当x∈ (2，4)，h'(x)<0,h(x)单调递减】,
易得到x∈ (0,2],h(x)极大值为h(2)且此极大值必为其最大值。
所以maxh(x)=h(2)=ln2-1/2
由a>maxh(x),得到a的取值范围为(ln2-1/2,+∞)

追问

能不能不要复制粘贴？我就是觉得这个答案有问题才提问的啊~

追答

http://wenku.baidu.com/view/cd95e991daef5ef7ba0d3c6d.html标准答案19题

追问

那道题a的范围是（0，正无穷），我这道题a属于R，不过还是非常感谢你！