Question

如图①，C为线段BD上一动点，分别过点B．D作AB⊥BD，ED⊥BD，连接AC、EC．已知AB=5，DE=1，BD=8，设BC=x．

如图①，C为线段BD上一动点，分别过点B．D作AB⊥BD，ED⊥BD，连接AC、EC．已知AB=5，DE=1，BD=8，设BC=x．
（1）当BC的长为多少时，点C到A、E两点的距离相等？
（2）用含x的代数式表示AC+CE的长；问点A、C、E满足什么条件时，AC+CE的值最小？
（3）如图②，在平面直角坐标系中，已知点M（0，4），N（3，2），请根据（2）中的规律和结论构图在x轴上找一点P，使PM+PN最小，求出点P坐标和PM+PN的最小值．

Answer 1

1:

AC=√（（8-x）²+25）

CE=√x²+1

所以AC+CE=√（（8-x）²+25）+√x²+1

2：

在三角形ACE里

AC+CE＞AE

所以当C与O重合时，AE最短

做BF=DE=1

所以AF=6，

因为BD=8

所以AE=√BD²+√（AB²+BE²）

=√BD²+√（AB+BE）²

=√8²+√（5+1）²

=10

所以AC+CE最小是10

3：

根据：AC+CE=√（CB²+AB²）+√CD²+ED²==√BD²+√（AB²+BE²）

所以√（x²+4）+√（（12-x）²+9）

=√（x+12-x）²+√（9-4）²

=√（12）²+√（5）²

=13

Answer 2

：（1） (8-x)2+25 + x2+1 ；（2分）
（2）当A、C、E三点共线时，AC+CE的值最小；（4分）

（3）如下图所示，
作BD=12，过点B作AB⊥BD，过点D作ED⊥BD，使AB=2，ED=3，连接AE交BD于点C，
AE的长即为代数式 x2+4 + (12-x)2+9 的最小值，（6分）
过点A作AF∥BD交ED的延长线于点F，得矩形ABDF，
则AB=DF=2，AF=BD=12，
所以AE= AF2+EF2 = 122+(3+2)2 =13，
即 x2+4 + (12-x)2+9 的最小值为13．（8分）

Answer 3

Q