Question

如图，抛物线y=1/3x^2-mx+n与x轴交于A.B两点，与y轴交于点c(0,-1),且对称轴x=1.

（1）求抛物线的解析式。
（2）在X轴下方的抛物线上是否存在点D，使四边形ABCD的面积为3，若存在，求出点D的坐标；若不存在说明理由（使用图1）
（3）点Q在Y轴上，点P在抛物线上，要使Q.P.A.B为顶点的四边形使平行四边形，请求出所有满足条件的点P的坐标（使用图2）

Answer 1

（1）对称轴-b/2a=1知m/2/3=1,得m=2/3。又图知A(-1,0),B(3,0)。易知n=-1.y=1/3x²-2/3x-1
（2）易知△ABC面积=4*1/2=2，要使四边形ABCD的面积为3，则△ABD的面积应为1.即D的纵坐标即为△ABD的高，设为h，则4h/2=1,得h=1/2.代入方程。(h²)=1/4=1/3x²-2/3x-1。得x1=
1+(√19)/2 x2=1-(√19)/2,则D的坐标为D(1+(√19)/2,1/2)或D（1-(√19)/2,1/2)
（3）∵要使Q.P.A.B为顶点的四边形使平行四边形，而AB是横坐标轴，∴知QP必须要平行于X轴。设Q的坐标为(0,m),则P的竖坐标也为m，而P在抛物线上，所以可得P(n,m),且1/3n²-2/3n-1=m。又AQ∥BP，所以两个斜率相等，AQ的斜率k1=-m，BP的斜率k2=m/(n-3)。由k1=k2得n=2，由1/3n²-2/3n-1=m得m=-1，则P(2,-1)